могут ли два эллипса образовать пару кривых Бертрана

[PM]

собственно вопрос, наверное сводится к тому, могут ли два эллипса иметь в соответствующих точках общие нормали

[Brukvalub]

Эх, кабы ещё знать, что есть кривые Бертрана

[Lion]

Т.е. фактически нужно найти два эллипса, касающихся двух данных прямых в данных точках? Если да, то таких эллипсов целое семейство: $\lambda m + \mu f g$, где $f,g$ --- уравнения касательных, а $m$ --- уравнение прямой, соединяющей точки касания.

[PM]

Вопрос в том, существуют ли два эллипса, понятно что с общим центром и разными эксцентриситетами, расстояние между соответствующими точками которых постоянно
Скорее всего, нет, но возможно кто-то покажет, что я не прав.

PS соответствующие не значит коллинеарные с центром, а значит касательные в этих точках параллельны и перпендикулярны общей нормали

[Алексей К.]

Ну, возьмите эллипс, $x=a\cos t$, $y=b\sin t$. Возьмите отнормированные направления нормалей: подозреваю, $n_x=\frac{b\cos t}{N}$, $n_y=\frac{a\sin t}{N}$, где $N=\sqrt{(b\cos t)^2+(a\sin t)^2}$. Новая кривая --- $X(t)=x(t)+Dn_x(t)$, $Y(t)=y(t)+Dn_y(t)$. Исключаем $t$ (может, компутер потребуется). Получаем семейство кривых $F(X,Y;D)=0$, наверное 8-го порядка. Видим, что никак не эллипсы (т.е. надеюсь, что увидим). Кажется, я в юности это проделывал.


Подзабыл --- действительно эквидистанты и кривые Бертрана на плоскости --- это одно и тоже? Похоже да...

[PM]

Алексей К. писал(а):

Ну, возьмите эллипс, $x=a\cos t$, $y=b\sin t$. Возьмите отнормированные направления нормалей: подозреваю, $n_x=\frac{b\cos t}{N}$, $n_y=\frac{a\sin t}{N}$, где $N=\sqrt{(b\cos t)^2+(a\sin t)^2}$. Новая кривая --- $X(t)=x(t)+Dn_x(t)$, $Y(t)=y(t)+Dn_y(t)$. Исключаем $t$ (может, компутер потребуется). Получаем семейство кривых $F(X,Y;D)=0$, наверное 8-го порядка. Видим, что никак не эллипсы (т.е. надеюсь, что увидим). Кажется, я в юности это проделывал.

Подзабыл --- действительно эквидистанты и кривые Бертрана на плоскости --- это одно и тоже? Похоже да...

Описанный Вами процесс позволяет получить именно эквидистанту, то есть кривую, расстояние от каждой точки которой до эллипса постоянно, но это не значит что расстояние от точки эллипса доэтой кривой равно тому же числу.

Две кривые Бертрана можно получить, если откладывать равные отрезки на обоих направлениях нормали - имеем две кривые наверно 8-го порядка между которыми находится эллипс.
То есть эллипс типа "направляющая" для них.
Вопрос, наоборот: существует ли кривая, "направляющая" для двух эллипсов.

[Алексей К.]

PM писал(а):

Вопрос, наоборот: существует ли кривая, "направляющая" для двух эллипсов.

На этот вопрос я и пытался ответить. Если такая кривая существует, то два эллипса окажутся эквидистантными (перпендикуляр-то общий по обе стороны от "направляющей"). Узнав, что эквидистантных эллипсов не бывает, мы вроде как узнаем, что не бывает и такой кривой.