Решить уравнение в кольце

[Mary84]

Тогда получается, что $x= t^4$

[nnosipov]

Верно. А почему корень только один? Разве так бывает с квадратными уравнениями?

(Бывает, не пугайтесь :) В данном случае потому, что над полем $\mathbb{F}_2$ имеет место тождество $a^2+b^2=(a+b)^2$.)

[Mary84]

У квадратных уравнений может быть один корень, если дискриминант равен 0. У нас $D = -4t$, что по модулю 2 ноль.

[nnosipov]

Всё же рекомендую решить задачу тем способом, которым Вы хотели с самого начала. И для которого требуется неприводимый многочлен 3-й степени, например $x^3+x+1$.

[Mary84]

Да, так будет правильнее.

Для нахождения значения корней полинома над кольцом, его надо делить на $x-t$, предположив, что $t$ - корень. И дальше находить оставшиеся корни. Вот примерно такой метод знаю. Но у меня уравнение над кольцом. Да и переменная $t$ уже корень некоторого полинома. (мы выбрали $x^3+x+1$)

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #871754 писал(а):

Для нахождения значения корней полинома над кольцом, его надо делить на $x-t$, предположив, что $t$ - корень.

Что-то странное.

Где надо корни уравнения $x^2+t=0$ искать? В поле $\mathbb{F}_8$. Как устроены элементы этого поля? Имеют вид $at^2+bt+c$, где $a,b,c \in \mathbb{F}_2$. Подставляем это в уравнение и смотрим, при каких $a,b,c$ будет верное равенство. Окей?

[Mary84]

Спасибо Вам большое, разобралась)