Разложить многочлен на множители второй степени

[KiberMath]

Многочлен $x^8 - 16$ представить в виде произведения многочленов второй степени

Дошел до того, что

$(x^2 - 2)(x^2 +2)(x^4 + 4) = x^8 - 16$

Не знаю как представить $(x^4 + 4)$ в виде произведения многочленов второй степени.
Подскажите пожалйста

[Brukvalub]

\[ x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = ... \]

[KiberMath]

Непонятно.
расскажите пожалйста по подробней

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

расскажите пожалйста по подробней

Шутку оценил. Уже начинаю смеяться.

[PAV]

Честно говоря, я подсказку тоже не понял. Но с теоретической точки зрения задача решается так. Любой многочлен имеет столько комплексных корней, какова его степень, а сам многочлен представляется в виде произведения соответствующих одночленов (комплексных). При этом если коэффициенты многочлена вещественные, то вместе с любым комплексным корнем также корнем является его сопряжение. Произведение соответствующих двух одночленов даст как раз множитель второй степени уже с вещественными коэффициентами.

Именно поэтому любой вещественный многочлен можно разложить в произведение сомножителей первой и второй степеней.

В данном случае комплексные корни можно найти.

[Brukvalub]

PAV писал(а):

Честно говоря, я подсказку тоже не понял

Ну, тогда придётся объяснить подробнее

\[ x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)\]

KiberMath писал(а):

Многочлен x^8 - 16 представить в виде произведения многочленов второй степени

Требуемое достигнуто. Наверное, я действительно напрасно сразу не написал всё решение

[PAV]

Да, понятно. А если не догадаться до этого и не знать про комплексные числа, то нужно было в общем виде написать два многочлена второй степени с 4 неизвестными коэффициентами (старшие - по 1), перемножить и приравнять к требуемому. Получится 4 уравнения (правда, нелинейных), которые, наверное, можно решить.

[KiberMath]

PAV
Я пытался решать систему уравнений - без идей что с ней делать
Догадаться до

Brukvalub писал(а):

\[ x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)\]

Для меня тоже оч сложно

Проще оказалось почитать про комплексные чилса