Пример двух операторов, у которых границы спектра совпадают

[bahad]

Задача. Существуют ли два разных оператора $A$ и $B$, такие что $(Ax,x)\ge (Bx,x)$ и их концы спектра совпадают.

В книжке Богачева-Смолянова есть интересные теоремки, например, для самосопряженного оператора $A$ верно:
$\|A\|=sup\{|(Ax,x)| : \|x\|\le 1\}=sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(A)\}$.
Кроме того, в спектр $A$ входят точки $m_{A}=inf\{(Ax,x) : \|x\|=1\}$, $M_{A}=sup\{(Ax,x) : \|x\|=1\}$
Также известно, что $\sigma(A)\subset [m_A, M_A]$
Я думаю, что существуют, моя идея такова: Возьмем два разных оператора с одинаковой нормой, таких что $(Ax,x)\ge (Bx,x)\ge 0$ и $m_A=m_B$. Тогда $\|A\|=sup\{(Ax,x) : \|x\|\le 1\}=M_A$. Так как нормы $A$ и $B$ совпадают, то мы получили, что концы их спектра совпадают. Воспрос только в существовании таких операторов, если я нигде не ошибся.
Или нужно мыслить по-другому: привести их к виду оператора уможения на функцию, их спектры - это существенные значения соответствующей функции, но нужно ещё учесть то, что $A\ge B$. Короче, туговато у меня с примерами...подскажите, пожалуйста.

[ewert]

Просто оператор Шрёдингера для свободной частицы и для с отталкивающим потенциалом.

Это так, к примеру. А вообще вопрос странный: с какой, собственно, стати подобной паре и не существовать?... Раз уж неравенство нестрогое.

[bahad]

ewert в сообщении #871934 писал(а):

Просто оператор Шрёдингера для свободной частицы и для с отталкивающим потенциалом.

Это так, к примеру. А вообще вопрос странный: с какой, собственно, стати подобной паре и не существовать?... Раз уж неравенство нестрогое.

Короче пример таков: операторы $A$ умножение на $arctan(t)$ и $B$ умножение на $arctan(t-1)$, их спектры совпадают.

[g______d]

Две матрицы, у одной на диагонали $1,1,2$, у другой $1,2,2$.