Функция из S'

[Foxer]

Задача. Пусть $f \in S', f > 0$, $f$ непрерывна и задает функционал на $S$ посредством интеграла, т.е. $f(\varphi) = \int f\varphi$. Доказать, что первообразная этой функции имеет полиномиальный рост. Ранее я уже размещал очень похожую задачу, но там лишь приводился пример такой функции $f$, которая сама не имеет полиномиального роста.

Попытки решения.
Вообще, попытки интегрирования по частям преподаватель моментально отсек и сказал, что "голыми руками" это не докажу. То есть нужно применить какую-нибудь теоремку.
Далее возникла вот какая идея. Пусть $F$ - превообразная от $f$. Она монотонно возрастает из того, что $f$ положительна. Предположим противное. Пусть она возрастает быстрее любого многочлена, тогда найдется функция из $S$, что интеграл их произведения разойдется. Теперь, если мы докажем, что $F$ лежит в $S'$ и задается интегралом, то все будет доказано.
Есть теорема, что если $f \in D'$, то существует $G \in D'$, что $G' = f$, где последняя производная понимается в обобщенном смысле. Ну а далее я не знаю, есть обычная первообразная, равная $F$, есть обобщенная $G$ (причем из теоремы не следует, что она лежит в $S'$), что отсюда можно сказать - пока не знаю.

[g______d]

Пусть $\varphi(x)$ – основная функция, равная $1$ при $|x|\le 1$ и $0$ при $|x|\ge 2$, неотрицательная. Пусть $\varphi_n(x)=\varphi(x/n)$. Предлагаю рассмотреть последовательность $f(\varphi_n)$ и доказать, что она растёт не быстрее полинома от $n$.

[Foxer]

g______d в сообщении #871858 писал(а):

Пусть $\varphi(x)$ – основная функция, равная $1$ при $|x|\le 1$ и $0$ при $|x|\ge 2$, неотрицательная. Пусть $\varphi_n(x)=\varphi(x/n)$. Предлагаю рассмотреть последовательность $f(\varphi_n)$ и доказать, что она растёт не быстрее полинома от $n$.

В книжке Богачева-Смолянова написано, что $f \in S'$ тогда и только тогда, когда $|f(\varphi)| \leq C p_m(\varphi)$ для некоторых $m, C$, где $p_m(\varphi) = \sup_{k \leq m}\sup_{x \in \mathbb{R}}(1 + x^2)^m\varphi^{(k)}(x)$. Пусть этот факт верен, тогда $p_m(\varphi_n)$ растет не быстрее полинома от $n$ степени $2m$. Ну и выполнены неравенства $\sup_{x \in [-n, n]}|F(x)| \leq f(\varphi_n)$. Соответственно и первообразная растет не быстрее полинома степени $2m$.
Осталось понять тот факт, который приводится в учебнике. Предположим, что для любого $m$ и $C$ найдется функция $\psi_m$, такая, что $f(\psi_m) > С p_m(\psi_m)$. Поумножаем $\psi_m$ на константы так, чтобы получилось, что $p_m(\psi_m) = 1$, а $f(\psi_m) > m$. Рассмотрим последовательность функций $\psi_{m, n} = \psi_m/n$. При фиксированном $m$ они сходятся к $0$ в $S$. Рассмотрим диагональ таблицы. Вроде как функции будут сходиться к нулю в $S'$, но $f(\psi_{m,m}) > 1$. Сам придумал, сам не понял :). Я тут сказал, что они (диагональ) сходятся к нулю в $S$, а почему - не знаю.

[Oleg Zubelevich]

нет не выходит, затер

[Foxer]

Oleg Zubelevich в сообщении #871883 писал(а):

По теореме Банаха-Штейнгауза они сходятся и на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$.

Совершенно неясно, как тут применима теорема Банаха-Штейнгауза. Даже если мы рассматриваем в качестве операторов - функционалы, отображающие $S$ в $\mathbb{R}$, первое пространство должно быть банаховым, но вот только не зря в $S$ вводят семейство полунорм...

[Oleg Zubelevich]

Foxer в сообщении #871888 писал(а):

первое пространство должно быть банаховым

кому оно должно?

[Foxer]

Oleg Zubelevich в сообщении #871889 писал(а):

Foxer в сообщении #871888 писал(а):

первое пространство должно быть банаховым

кому оно должно?

Не зря ведь в названии теоремы затесалось имя Банаха...
Может мы о разных теоремах говорим?

[Oleg Zubelevich]

мы об одной и тойже теореме говорим, просто есть несколько более общая версия этой теоремы. см Лоран Шварц Анализ том 2

-- Ср июн 04, 2014 22:05:23 --

не выходит с этой теоремой, но по другим причинам

[g______d]

По-моему, есть общий факт про полинормированные пространства, что непрерывные функционалы — это функционалы, ограниченные хотя бы по одной из норм.

[Foxer]

g______d в сообщении #871903 писал(а):

По-моему, есть общий факт про полинормированные пространства, что непрерывные функционалы — это функционалы, ограниченные хотя бы по одной из норм.

А, вот оно что. Круто, спасибо!
P.S. Первая часть рассуждений то хоть верна?)

[g______d]

Foxer в сообщении #871907 писал(а):

А, вот оно что. Круто, спасибо!

Мне ссылку прямо сейчас лень искать, попробуйте сами посмотреть что-нибудь по пространствам Фреше, если не найдете — поищу.

Foxer в сообщении #871907 писал(а):

P.S. Первая часть рассуждений то хоть верна?)

Да, я примерно такое рассуждение подразумевал.