Топология, построить атлас

[nza94]

Задача звучит так: "Построить атлас на множестве всех отрезков в $\mathbb{R}^3$. Ориентируемо ли это многообразие?"
Моя идея была такой: возьмём точку с тремя координатами в $\mathbb{R}^3$ и будем через неё проводить прямые (это $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$) и откладывать отрезки длиной $l$. Получается декартово произведение $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\mathbb{P}^2$. 6 координат: {$x_1, x_2, x_3, l, y_1, y_2$} ($x_i$ - координаты конца отрезка, $l$ - длина отрезка, $y_i$ - для $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$). 3 карты тогда: отрезок не параллелен плоскости 1) $Ox_1x_2$, 2) $Ox_2x_3$, 3) $Ox_1x_3$. Функции склейки для первых четырёх координат тождественны, в $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ известны. Для проверки ориентируемости нужно написать якобиан перехода от одних координат к другим и сравнить с нулём.
Есть одно большое НО: один и тот же отрезок можно задать разными координатами, выбирая разные начала отрезка.
Была ещё идея использовать вместо $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ два угла [$0,\pi$) или взять просто координаты двух концов, но тогда не вполне понятно какие карты. Может фиксирование точки вообще ложный шаг? Но ведь вся суть отрезка в том, что у него есть концы.

[Brukvalub]

Упорядоченный набор координат концов отрезка является точкой в $R^6$. Но нужно еще учесть, что перестановка местами первой и второй троек координат концов дает тот же отрезок, то есть нужна некая факторизация.

[mishafromusa]

nza94 в сообщении #871691 писал(а):

Но ведь вся суть отрезка в том, что у него есть концы.

У отрезка есть и точка ровно посередине между концами, может она лучше подойдёт?

[nza94]

mishafromusa в сообщении #871695 писал(а):

nza94 в сообщении #871691 писал(а):

Но ведь вся суть отрезка в том, что у него есть концы.

У отрезка есть и точка ровно посередине между концами, может она лучше подойдёт?

Кстати, может быть и да. Тогда вместо конца надо брать середину, а так атлас всё равно таким останется?

[mishafromusa]

Решайте дальше сам