Подсчет выпуклых многоугольников с вершинами на окружности

[constant]

На окружности дано n точек, которые являются вершинами всевозможных выпуклых многоугольников. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых некоторая точка точка k является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых k в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?
в первой $2^{n-1} -1 $
во второй $2^n -1 $

Получается, что вторая группа больше, но ответ другой. Помогите, пожалуйста, найти ошибки и разобраться с правильным решением этой комбинаторной задачи.

[venco]

Логика первого вашего ответа понятна, но вы неправильно оценили, какое минимальное количество вершин может быть у многоугольника.
Во втором вашем ответе непонятно, из каких соображений вы увеличили степень двойки. Ну и минимальное количество вершин тоже нужно учесть.

[ewert]

constant в сообщении #869629 писал(а):

во второй $2^n -1 $

Это любопытно в разных отношениях, и в первую очередь тем, что Вы рассматриваете в т.ч. нульугольники, одноугольники и двухугольники.

На самом деле не надо вообще ничего считать. Можно ли из многоугольника второго типа сделать многоугольник первого типа?... а наоборот?...

[constant]

ewert в сообщении #869636 писал(а):

constant в сообщении #869629 писал(а):

во второй $2^n -1 $

На самом деле не надо вообще ничего считать. Можно ли из многоугольника второго типа сделать многоугольник первого типа?... а наоборот?...

Действительно, можно, а наоборот не всегда - крайний случай будет треугольник с вершиной в А1. Спасибо за подсказку к элегантному решению, всяко лучше чем считать.

И все же, прошу уточнить, так пойдет:

без А1: $2^{n-1} -1 - C^1_{n-1} - C^2_{n-1}$
c A1: $2^{n-1} -1 - C^1_{n-1}$
?

[Deggial]

constant в сообщении #871131 писал(а):

А1

constant, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[VAL]

constant в сообщении #871131 писал(а):

Спасибо за подсказку к элегантному решению, всяко лучше чем считать.

И все же, прошу уточнить, так пойдет:

без $A_1$: $2^{n-1} -1 - C^1_{n-1} - C^2_{n-1}$
c $A_1$: $2^{n-1} -1 - C^1_{n-1}$
?

Угу.

[constant]

VAL в сообщении #871262 писал(а):

constant в сообщении #871131 писал(а):

Спасибо за подсказку к элегантному решению, всяко лучше чем считать.

И все же, прошу уточнить, так пойдет:

без $A_1$: $2^{n-1} -1 - C^1_{n-1} - C^2_{n-1}$
c $A_1$: $2^{n-1} -1 - C^1_{n-1}$
?

Угу.

Спасибо