Можно ли представить исходный полином?

[DLL]

Пусть задан некоторый полином $h \in C[x_1, x_2, ... ,x_n]$.
И еще есть несколько полиномов $f_1, f_2, f_3 \in C[x_1, x_2, ... ,x_n]$.
Можно ли представить полином $h$ как полином от полиномов $f_1, f_2, f_3$, т.е. $h=F(f_1, f_2, f_3)$?
Кажется, есть такой алгоритм - но я уже подзабыл...

[bot]

Такого алгоритма быть не может. Пусть $h=x_1, f_1=f_2=f_3=x_2$

[DLL]

Вы слишком буквально подошли к вопросу
P.S: а по теме уже вспомнил где видел алгоритм - (Кокс Д., Литтл Д., О'Ши Д. - Идеалы, Многообразия И Алгоритмы, параграф 3, глава 7, предложение 7).

[ИСН]

Я для одной-то переменной не соображу, как понять, выражается ли один данный полином как тоже какой-то полином от другого данного полинома. (Ну, если степени делятся. Если нет, то понятно: нет.)

-- менее минуты назад --

А нет, всё понял. Но только для одной.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #871355 писал(а):

Я для одной-то переменной не соображу, как понять, выражается ли один данный полином как тоже какой-то полином от другого данного полинома.

А результант не поможет?

[Joker_vD]

Хм. Достал ту книжку, пролистал. Метод там предлагается следующий:

Пусть даны многочлены $f(x),g(x)$. Представим $f(x)$ как $f(x)=q(x,y)(g(x)-y)+r(x,y)$, с тем чтобы никакой одночлен в $r(x,y)$ не делился на старший член $g(x)$ (такое представление существует и единственно(?)). Если многочлен $r(x,y)=r(y)$, т.е. не содержит в себе переменную $x$, то $f(x)=r(g(x)$. В самом деле, подставим в разложение $f(x)$ вместо переменной $y$ многочлен $g(x)$: $f(x)=q(x,g(x))(g(x)-g(x))+r(g(x))=r(g(x))$. Если же $r(x,y)$ содержит в себе переменную $x$, то выразить $f(x)$ как многочлен от $g(x)$ невозможно.

[DLL]

Расскажу откуда появилась это задача.
Я все пытаюсь решить уравнение из этой темы.
Была гипотеза представить дифференциальный полином:
$2 g_y g_{xxy} g_{xx} g_{xy} - g_y g_{yyx} g_{xx}^2 - g_y g_{xxx} g_{xy}^2 + g_{xx}^2 g_{xy} g_{yy} - g_{xx} g_{xy}^3 $
как полином от $h=-g_x g_{xy} + g_y g_{xx}$ и его первых производных $h_x, h_y$.

В данном случае, оказалось, что так сделать невозможно!