Иррациональность

[Скорцонер]

Решается ли в целых $a, b, c, d$ уравнение
$ \sqrt a+ \sqrt b+\sqrt c = d$, кроме случая, когда $a, b, c$ – квадраты?

[maxal]

Сначала докажите, что если для целых чисел $x,y,u,v,w$ выполняется
$x\sqrt{u} + y\sqrt{v} = w$, где $u, v$ свободны от квадратов, то $u=v$ и, более того, либо $u=v=1$, либо $x=-y$.
Потом перенесите в исходном уравнении один корешок вправо и возведите в квадрат...

[Руст]

Известно, что $\sum_k \sqrt{r_k} \in Q \ \ r_k\in Q$ тогда и только тогда, когда каждое $\sqrt{r_k}$ рациональное. Это много раз обсуждалось в Mathlinks.

[arqady]

Руст
Эта задачка также была в Кванте лет этак тридцать назад.