Треугольник Морли

[scwec]

Канонический треугольник Морли имеет вершинами точки пересечения смежных
трисектрис внутренних углов треугольника $\bigtriangleup$ и является равносторонним (теорема Морли).

Предположим, что треугольник $\bigtriangleup$ прямоугольный с рациональными длинами сторон.
Докажите, что длина стороны треугольника Морли в этом случае число иррациональное.

[scwec]

В качестве подсказки. Длина стороны треугольника Морли $m=8\cdot{R}\cdot\sin{A/3}\cdot\sin{B/3}\cdot\sin{C/3}$, где
$R$ -радиус оисанной окружности и $A,B,C$ - углы исходного треугольника $\bigtriangleup$

[scwec]

Попробую в другой формулировке.
Пусть $A,B>0$ и $A+B=\dfrac{\pi}{2}$, кроме того $\sin{A}, \cos{A}$ - рациональные числа.
Докажите, что $\sin\dfrac{A}{3}\cdot\sin\dfrac{B}{3}$ - иррациональное число.

[scwec]

Можно использовать следующее наблюдение.
Пусть $u,v$ два вещественных числа, таких, что $uv=r\ne{0}$, $u^3+p_1{u}+q_1=0$, $v^3+p_2{v}+q_2=0$, где $r,p_1,q_1,p_2,q_2$ рациональные числа.
Тогда либо $u,v$ рациональные числа, либо $u,v$ квадратичные иррациональности.
Для желающих: докажите это утверждение и с помощью него проведите доказательство того, что $\sin{\dfrac{A}{3}}\cdot\sin{\dfrac{B}{3}}$ иррациональное число.

[nnosipov]

scwec в сообщении #887845 писал(а):

Пусть $u,v$ два вещественных числа, таких, что $uv=r\ne{0}$, $u^3+p_1{u}+q_1=0$, $v^3+p_2{v}+q_2=0$, где $r,p_1,q_1,p_2,q_2$ рациональные числа.
Тогда либо $u,v$ рациональные числа, либо $u,v$ квадратичные иррациональности.

Действительно, $u$ удовлетворяет двум кубическим уравнениям, а значит, и квадратному уравнению. Однако есть формальный контрпример: $u=\sqrt[3]{2}$, $v=\sqrt[3]{4}$. По-видимому, нужно добавить ограничение $p_i \neq 0$.

[scwec]

Согласен, добавим $p_i\ne{0}$. Так и есть в нашем случае.