Метод начальн параметров упруг. продольно-сжат стержень

[eugrita]

Речь пойдет о матрице метода начальных параметров для упругого продольно-сжатого стержня силой $P$ (без поперечной нагрузки)
Привожу 2 выражения(здесь $P=k^2EI$
$k=\sqrt{\frac{P}{EI}}$
$ \qquad \begin{bmatrix} y_1 \\ \varphi_1 \\ M_1 \\ Q_1 \end{bmatrix} \qquad = \qquad \begin{bmatrix} 1 & x & \frac{1-coskx}{P}& \frac{kx-sinkx}{kP} \\ 0 & 1 & \frac{ksinkx}{P} & \frac{1-coskx}{P} \\ 0 & 0 & coskx & \frac{sinkx}{k} \\ 0 & 0 & -ksinkx & coskx \end{bmatrix} \qquad \qquad \begin{bmatrix} y_0 \\ \varphi_0 \\ M_0 \\ Q_0 \end{bmatrix} \qquad $
и 2-е, взятое отсюда (Сурьянинов)
http://engstroy.spb.ru/index_2011_04/suryaninov_MGE.pdf стр 37-38
$ \qquad \begin{bmatrix} y_1 \\ \varphi_1 \\ M_1 \\ Q_1 \end{bmatrix} \qquad = \qquad \begin{bmatrix} 1 & \frac{sinkx}{k}& -\frac{1-coskx}{P} & -\frac{kx-sinkx}{kP} \\ 0 & coskx & -\frac{ksinkx}{P} & -\frac{1-coskx}{P} \\ 0 & -\frac{Psinkx}{k}& coskx & \frac{sinkx}{k} \\ 0 & Pcoskx & -ksinkx & coskx \\ \end{bmatrix} \qquad \qquad \begin{bmatrix} y_0 \\ \varphi_0 \\ M_0 \\ Q_0 \end{bmatrix} \qquad $
Здесь $y$-смещение $\varphi$-угол поворота,
$M$изгибающий момент, $Q$ поперечная сила в сечении с координатой $x $ и в начальном
Какая из матриц верна? Мне сдается что 1 вар. (по крайней мере из него получается частотное уравнение для 2-опорного стержня (шарнирные опоры)
sinkL=0 и для стержня с опорой-заделкой и опорой-шарниром $tgkL=kL$
2-я формула чуть подогнана но ее основа на стр 37-38
Имея правильную матрицу можно по конкретным краевым условиям на опорах
с помощью перемножения по межопорным участкам получить аналитически частотное уравнение для критических сил

[eugrita]

окончательная правка (не поленился сам вывел из
$y(x)=Asinkx+Bcoskx+Cx+D$
$\varphi(x)=kAcoskx-kBsinkx+C$
$M(x)=-EI\ddot{y} =EIk^2(Asinkx+Bcoskx)=P(Asinkx+Bcoskx)$
$Q(x)=\dot{M}(x)=kP(Acoskx-Bsinkx)$
$y_0=B+D, \varphi_0=kA+C, M_0=PB, Q_0=kPA$
$ \qquad \begin{bmatrix} 1 & x & -\frac{1-coskx}{P} & -\frac{kx=sinkx}{kP} \\ 0 & 1 & -\frac{ksinkx}{P} & -\frac{1-coskx}{P} \\ 0 & 0 & coskx & \frac{sinkx}{k} \\ 0 & 0 & -ksinkx & coskx \end{bmatrix} \qquad $

[eugrita]

мне стало ясно, откуда пошли расхождения. Я считал
$Q(x)=\frac{dM}{dx}$
а в Варданян .Сопротивление материалов
$Qр(x)=\frac{dMp}{dx}$
где $Mp(x)$-момент вызванный одной поперечной нагрузкой
$M=M_p+Py$ тогда $M_p=M-Py=-P(Cx+D)$
$Q_p(x)=\frac{dM_p}{dx}=-CP$
$$C=-\frac{Q_0}{P}
И вот тогда получается 2-я из приведенных матриц.
Правильно? т.е. когда скажем краевые условия на шарнирной опоре $x=a$ я принимаю $M_p(a)=0$ а не $M(a)=0$
аналогично для свободного конца $M_p(0)=0$ ,$Q_p(0)=0$ Правильно?

[eugrita]

Пример схемы и расчета

Матрица 1 шага метода начальных параметров

1-е краевое условие на опоре $x=a$
$0=y_1=y_0+\frac{sinka}{k}\varphi_0$
На 1й опоре скачок поперечной силы с $Q_1=0$ до
$Q_1=-P\frac{y_0}{b}$
2-е краевое условие на опоре $x=L=a+b$
$0=y_2=y_0(\frac{sinkb}{kb}-\frac{sinkL}{sinka})+$
Частотное уравнение $\frac{sinkb}{kb}=\frac{sinkL}{sinka}$

-- Ср июн 04, 2014 01:37:03 --

Результаты расчета на матлаб


-- Ср июн 04, 2014 01:44:51 --

здесь $\mu=\sqrt{\frac{kL}{\pi}}$ коэф-т приведения длины стержня
к эквивалентному Эйлеровому $L_{ekv}=\mu L$

[Toucan]

eugrita, стандартные функции набираются в $\TeX$ с обратным слэшем:

$\sin kx, \tg kx$

$\sin kx, \tg kx$

[eugrita]

Понял, учту.
а теперь - пример схемы 3-опорного стержня (опоры шарниры)

Частотное уравнение симметрично по $a,b$ как и должно быть)
$\frac{ka \cos{ka}- \sin{ka}}{\sin{ka}(2\sin{ka}-ka)}+\frac{kb \cos{kb}- \sin{kb}}{\sin{kb}(2\sin{kb}-kb)}=0$
Но проведенные расчеты при возрастании параметра $m=\frac{a}{L}$ показывают рождение точек бифуркации, т.е резкого скачкообразного увеличения 1-й критической частоты в районе $0.6<m<0.62$ скачок с $t_{kr}=kL=4.13$ до
$t_{kr}=9.34$

-- Пт июн 06, 2014 04:45:21 --

Это объясняется исчезновением 1-го пересечения кривых из левой и правой части частотного уравнения.

В заключение, несмотря на детальный анализ с помощью компьютера критических частот надо помнить, что он сделан на основе линеаризованого уравнения продольно изгиба. (и приведенных на основе линеаризации матриц выше). Точное уравнение изгиба с учетом геометрической нелинейности может
дать другие результаты в отношении 1-й критической силы

-- Пт июн 06, 2014 04:55:09 --

(Напомню что неск.лет назад я поднимал наивный может быть вопрос о физическом эксперименте: Стержень кроме опор заключают в жесткую оболочку и плавно наращивают силу сжатия , пройдя порог 1-критической силы и выше. После этого страховку убирают. Стержень не должен потерять устойчивость несмотря на превышение 10й критической силы.)

[eugrita]

Это вообще говоря интересный вопрос о собственных частотах и собственных функциях дифференциального уравнения, и линеаризованного диф.уравнения.
В теории устойчивости Ляпунова есть понятие "устойчивость по первому приближению". Хотелось бы прояснить это применительно к задаче о собственных частотах упругого стержня.