Максимальная дисперсия

[frankenstein]

Какова максимальная дисперсия, которую может иметь случайная величина, принимающая
значения в отрезке от 0 до 1?

Записал перед собой это:
$ D(x) = \int\limits_{0}^{1} {x^2f(x)dx} - \Bigl( \int\limits_0^1 {xf(x)dx} \Bigr)^2 $

Не знаю как дальше быть. Ну вроде известно что $0 \le x \le 1$
Так же известно что:
$ \int\limits_{0}^{1} {f(x)dx} = 1 $
Но не могу все это связать и найти решение.

Докажите, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий
на действительной оси только положительные значения, может быть представ-
лен в виде суммы квадратов многочленов с действительными коэффициентами.
А к этой задаче я вообще не знаю как подобраться? Можете подсказать темы,
которые надо изучить чтобы потом быть способным решать задачи такого типа?

[Brukvalub]

А поискать влом?

[frankenstein]

steninss в сообщении #700210 писал(а):

Cizz
Мораль была проста. Есть задача про оценку максимальной дисперсии случайной величины, принимающей значения на [0,1]. Там всё решается очень просто:

$$ Dx = \int\limits_0^1x^2f(x)dx - (\int\limits^1_0xf(x)dx)^2 \leq $$

$$ \leq \int\limits_0^1xf(x)dx - (\int\limits^1_0xf(x)dx)^2 = $$

$$ = z - z^2 \leq \frac 14 $$

при $z = \frac 12$
Надо было просто свести одну задачу ко второй.

Да, круто!