2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:03 
Здравствуйте.

Условие.
У линейного преобразования $n$-мерного пространства существует $n+1$ собственных векторов, таких что любые $n$ из них линейно независимы. Найдите всевозможные матрицы, которые могли бы задавать такое преобразование.

Рассуждаю:
1) Линейное преобразование $n$-мерного пространства задается матрицей $n$ x $n$.
2) Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих определённому собственному значению матрицы, равно кратности этого собственного значения.
3) $p$ различным собственным значениям соответствуют $p$ линейно независимых векторов.

Получается, независимо от спектра матрицы, у линейного преобразования $n$-мерного пространства не может существовать более $n$ линейно независимых собственных векторов.

Ответ:
Таких матриц не существует.

Вопрос:
Где я ошибаюсь и чего не понимаю?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:06 
У тождественного преобразования плоскости какие собственные векторы?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:06 
Аватара пользователя
kalbasa в сообщении #870741 писал(а):
Получается, независимо от спектра матрицы, у линейного преобразования $n$-мерного пространства не может существовать более $n$ собственных векторов.
не может существовать более $n$ линейно независимых собственных векторов. Для тождественного оператора, например, все ненулевые векторы - собственные.

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:36 
Верно, я имел в виду
Цитата:
не может существовать более $n$ линейно-независимых собственных векторов.

вместо
Цитата:
не может существовать более $n$ собственных векторов.


Исправил.

В условии спрашивается про $n + 1$ собственных векторов, любые $n$ из которых линейно независимы. Получается тождественное преобразование подходит. Как определить, единственный это ответ или есть еще преобразования? Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:43 
kalbasa в сообщении #870768 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Нет, любые диагонализуемые. Странная задачка.

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:45 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #870773 писал(а):
Нет, любые диагонализуемые
Неправильно.

-- Вс июн 01, 2014 23:45:55 --

kalbasa в сообщении #870768 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?
Неправильно.

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 22:47 
ewert в сообщении #870773 писал(а):
kalbasa в сообщении #870768 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Нет, любые диагонализуемые. Странная задачка.

А можно поподробнее? Почему так, а не иначе?
Верно ли я понимаю, что все растяжения/сжатия диагонализируемы?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение01.06.2014, 23:16 
Аватара пользователя
Возьмём преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси y в два раза. Какие у него собственные векторы? Подходит ли оно под условие задачи?
Этот же пример проясняет насчёт диагонализуемости, КМК.

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 00:00 
ИСН в сообщении #870789 писал(а):
Возьмём преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси y в два раза. Какие у него собственные векторы? Подходит ли оно под условие задачи?
Этот же пример проясняет насчёт диагонализуемости, КМК.

Матрица:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1/2
\end{pmatrix}
$$
Собственные значения: $\lambda_1 = 1/2$; $\lambda_2 = 1$
Собственные векторы:
$$
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
$$
Под условие задачи подходит.

Как мне из этого понять (и доказать) почему под условие задачи подходят только диагонализируемые, а другие не подходят?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 00:34 
Аватара пользователя
kalbasa в сообщении #870741 писал(а):
У линейного преобразования $n$-мерного пространства
Здесь $n$ - это сколько?
kalbasa в сообщении #870741 писал(а):
существует $n+1$ собственных векторов
Здесь $n+1$ - это сколько?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 00:50 
ewert в сообщении #870773 писал(а):
Странная задачка.
Ага.

kalbasa
Если есть хоть один собственный вектор, то существует и ещё много-много других тоже собственных. (Если поле бесконечное. Но, наверно, оно бесконечное? Если поле конечное, разнообразие, конечно, сильно уменьшится.)

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 01:03 
Аватара пользователя
kalbasa в сообщении #870768 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?
Неправильно.[/quote]Ой, я подумал, что это описание можно понять по разному. Объясните как-нибудь по-другому, что именно Вы имели в виду?

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 09:02 
ИСН в сообщении #870830 писал(а):
kalbasa в сообщении #870741 писал(а):
У линейного преобразования $n$-мерного пространства
Здесь $n$ - это сколько?
kalbasa в сообщении #870741 писал(а):
существует $n+1$ собственных векторов
Здесь $n+1$ - это сколько?

$n = 2$

$n + 1 = 3$

-- 02.06.2014, 08:07 --

Цитата:
Xaositect в сообщении #870839 писал(а):
kalbasa в сообщении #870768 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?
Неправильно.
Ой, я подумал, что это описание можно понять по разному. Объясните как-нибудь по-другому, что именно Вы имели в виду?

Под растяжением/сжатием я имел в виду, что преобразование такое, что каждая координата умножается на какое-то число $a_i$

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 09:19 
Аватара пользователя
Понятно, что матрица диагонализуема (т. е. есть $n$ линейно независимых собственных векторов). В (ровно) одном из собственных подпространств будет слишком много векторов. Если кроме этого подпространства есть ещё хотя бы одно (т. е. не все собственные значения различны одинаковы), то выкинем вектор из него и получим противоречие.

ИСН в сообщении #870894 писал(а):
Наоборот.

Спасибо, исправил.

 
 
 
 Re: n + 1 собственных векторов линейного преобразования
Сообщение02.06.2014, 09:41 
Аватара пользователя
kalbasa в сообщении #870886 писал(а):
$n + 1 = 3$
Ну и где Ваши три вектора?
g______d в сообщении #870889 писал(а):
Если кроме этого подпространства есть ещё хотя бы одно (т. е. не все собственные значения различны)
Наоборот.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group