n + 1 собственных векторов линейного преобразования

[kalbasa]

Здравствуйте.

Условие.
У линейного преобразования $n$-мерного пространства существует $n+1$ собственных векторов, таких что любые $n$ из них линейно независимы. Найдите всевозможные матрицы, которые могли бы задавать такое преобразование.

Рассуждаю:
1) Линейное преобразование $n$-мерного пространства задается матрицей $n$ x $n$.
2) Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих определённому собственному значению матрицы, равно кратности этого собственного значения.
3) $p$ различным собственным значениям соответствуют $p$ линейно независимых векторов.

Получается, независимо от спектра матрицы, у линейного преобразования $n$-мерного пространства не может существовать более $n$ линейно независимых собственных векторов.

Ответ:
Таких матриц не существует.

Вопрос:
Где я ошибаюсь и чего не понимаю?

[mihailm]

У тождественного преобразования плоскости какие собственные векторы?

[Xaositect]

kalbasa в сообщении #870741 писал(а):

Получается, независимо от спектра матрицы, у линейного преобразования $n$-мерного пространства не может существовать более $n$ собственных векторов.

не может существовать более $n$ линейно независимых собственных векторов. Для тождественного оператора, например, все ненулевые векторы - собственные.

[kalbasa]

Верно, я имел в виду

Цитата:

не может существовать более $n$ линейно-независимых собственных векторов.

вместо

Цитата:

не может существовать более $n$ собственных векторов.

Исправил.

В условии спрашивается про $n + 1$ собственных векторов, любые $n$ из которых линейно независимы. Получается тождественное преобразование подходит. Как определить, единственный это ответ или есть еще преобразования? Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

[ewert]

kalbasa в сообщении #870768 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Нет, любые диагонализуемые. Странная задачка.

[Xaositect]

ewert в сообщении #870773 писал(а):

Нет, любые диагонализуемые

Неправильно.

-- Вс июн 01, 2014 23:45:55 --

kalbasa в сообщении #870768 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Неправильно.

[kalbasa]

ewert в сообщении #870773 писал(а):

kalbasa в сообщении #870768 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Нет, любые диагонализуемые. Странная задачка.

А можно поподробнее? Почему так, а не иначе?
Верно ли я понимаю, что все растяжения/сжатия диагонализируемы?

[ИСН]

Возьмём преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси y в два раза. Какие у него собственные векторы? Подходит ли оно под условие задачи?
Этот же пример проясняет насчёт диагонализуемости, КМК.

[kalbasa]

ИСН в сообщении #870789 писал(а):

Возьмём преобразование плоскости, которое сжимает её вдоль оси y в два раза. Какие у него собственные векторы? Подходит ли оно под условие задачи?
Этот же пример проясняет насчёт диагонализуемости, КМК.

Матрица:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} $$

Собственные значения: $\lambda_1 = 1/2$; $\lambda_2 = 1$
Собственные векторы:

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Под условие задачи подходит.

Как мне из этого понять (и доказать) почему под условие задачи подходят только диагонализируемые, а другие не подходят?

[ИСН]

kalbasa в сообщении #870741 писал(а):

У линейного преобразования $n$-мерного пространства

Здесь $n$ - это сколько?

kalbasa в сообщении #870741 писал(а):

существует $n+1$ собственных векторов

Здесь $n+1$ - это сколько?

[arseniiv]

ewert в сообщении #870773 писал(а):

Странная задачка.

Ага.

kalbasa
Если есть хоть один собственный вектор, то существует и ещё много-много других тоже собственных. (Если поле бесконечное. Но, наверно, оно бесконечное? Если поле конечное, разнообразие, конечно, сильно уменьшится.)

[Xaositect]

kalbasa в сообщении #870768 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Неправильно.[/quote]Ой, я подумал, что это описание можно понять по разному. Объясните как-нибудь по-другому, что именно Вы имели в виду?

[kalbasa]

ИСН в сообщении #870830 писал(а):

kalbasa в сообщении #870741 писал(а):

У линейного преобразования $n$-мерного пространства

Здесь $n$ - это сколько?

kalbasa в сообщении #870741 писал(а):

существует $n+1$ собственных векторов

Здесь $n+1$ - это сколько?

$n = 2$

$n + 1 = 3$

-- 02.06.2014, 08:07 --

Цитата:

Xaositect в сообщении #870839 писал(а):

kalbasa в сообщении #870768 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что подходят любые преобразования, которые растягивают/cжимают пространство и только они?

Неправильно.

Ой, я подумал, что это описание можно понять по разному. Объясните как-нибудь по-другому, что именно Вы имели в виду?

Под растяжением/сжатием я имел в виду, что преобразование такое, что каждая координата умножается на какое-то число $a_i$

[g______d]

Понятно, что матрица диагонализуема (т. е. есть $n$ линейно независимых собственных векторов). В (ровно) одном из собственных подпространств будет слишком много векторов. Если кроме этого подпространства есть ещё хотя бы одно (т. е. не все собственные значения различны одинаковы), то выкинем вектор из него и получим противоречие.

ИСН в сообщении #870894 писал(а):

Наоборот.

Спасибо, исправил.

[ИСН]

kalbasa в сообщении #870886 писал(а):

$n + 1 = 3$

Ну и где Ваши три вектора?

g______d в сообщении #870889 писал(а):

Если кроме этого подпространства есть ещё хотя бы одно (т. е. не все собственные значения различны)

Наоборот.