Формулу для энергии электрического поля

, где интеграл по всему пространству, можно преобразовать к виду

, здесь можно интегрировать только по области, где

, т.е. по шарам (назовем их

и

). Потенциал можно представить в виде суммы потенциалов

и

, создаваемых первым и вторым шаром. Так энергия разбивается на 4 слагаемых

Первое и четвертое слагаемое — это энергия поля первого и второго шара соответственно. В силу симметрии они равны. Каждое равно величине

, которую вряд ли можно найти без интегрирования.
Второе и третье слагаемые тоже равны, и вместе дают энергию взаимодействия

. Здесь возможен трюк.
Пусть

и

— радиус-векторы центров шаров. Вне второго шара

равен потенциалу точечного заряда

, расположенного в

:

Поэтому

Но последний интеграл — это в точности потенциал, создаваемый первым шаром в точке

:

А этот потенциал вне первого шара, в свою очередь, совпадает с потенциалом точечного заряда

, расположенного в точке

:

Отсюда
