Свертка обобщенных функций

[ewert]

Уберите лишний бакс и докажите, что эта дробь сходится равномерно вместе со всеми своими производными (на любом ограниченном множестве).

[bahad]

ewert в сообщении #870281 писал(а):

Уберите лишний бакс и докажите, что эта дробь сходится равномерно вместе со всеми своими производными (на любом ограниченном множестве).

Честно говоря, я не очень понял, что надо делать, с какими еще "своими производными", зачем нам это?

[mishafromusa]

bahad в сообщении #870278 писал(а):

У меня что-то не получается:
$\Delta w/ \Delta z$ $=$ $((T, e^{-ix(z_0+\Delta z)}) - (T, e^{-ixz_0}))$ / $\Delta z$ = $(T, e^{-ix z_0}(e^{-ix \Delta z} - 1))$ / $\Delta z $

Вот в этом-то и вся загвоздка. Нужно показать, что формальная производная -- это на самом деле производная. Придётся разбираться с этим $T$.

[ewert]

bahad в сообщении #870285 писал(а):

с какими еще "своими производными", зачем нам это?

Вам нужен предельный переход под знаком обобщённой функции (т.е. под знаком соответствующего функционала). При каком условии этот переход корректен?... (собственно, это часть определения обобщённой функции)

[bahad]

ewert в сообщении #870300 писал(а):

bahad в сообщении #870285 писал(а):

с какими еще "своими производными", зачем нам это?

Вам нужен предельный переход под знаком обобщённой функции (т.е. под знаком соответствующего функционала). При каком условии этот переход корректен?... (собственно, это часть определения обобщённой функции)

Когда функционал непрерывен, он непрерывен, дальше что? Получается какая-то фигня: $(T, 0) / 0$

[ewert]

bahad в сообщении #870316 писал(а):

Когда функционал непрерывен, он непрерывен, дальше что?

Дальше вспомните, что в точности понимается под непрерывностью функционала.

[bahad]

ewert в сообщении #870317 писал(а):

bahad в сообщении #870316 писал(а):

Когда функционал непрерывен, он непрерывен, дальше что?

Дальше вспомните, что в точности понимается под непрерывностью функционала.

То, что он секвенциально непрерывен! <T, f> -> 0 при f -> 0
Или вы про оценку через полунормы?

[ewert]

bahad в сообщении #870318 писал(а):

<T, f> -> 0 при f -> 0

Замечательно. И остаётся только вспомнить, что понимается под сходимостью в пространстве основных функций. Тогда Вам станет ясно, что именно надо доказывать.

[bahad]

ewert в сообщении #870321 писал(а):

bahad в сообщении #870318 писал(а):

<T, f> -> 0 при f -> 0

Замечательно. И остаётся только вспомнить, что понимается под сходимостью в пространстве основных функций. Тогда Вам станет ясно, что именно надо доказывать.

Сходимость всех производных на огр. множествах.

-- 01.06.2014, 14:34 --

Только не стало ясно что делать дальше. Что делать с пределом $0/0$?

[ewert]

bahad в сообщении #870322 писал(а):

Сходимость всех производных на огр. множествах.

какая конкретно сходимость?...

bahad в сообщении #870322 писал(а):

Что делать с пределом $0/0$?

1) перейти от "непрерывного" предела по $\Delta z$ к пределу по Гейне
2) пользуясь ограниченностью иксов, вытащить этот икс из-под знака предела соотв. заменой
3) ну и, собственно, практически всё

[bahad]

ewert в сообщении #870330 писал(а):

bahad в сообщении #870322 писал(а):

Сходимость всех производных на огр. множествах.

какая конкретно сходимость?...

Равномерная!

bahad в сообщении #870322 писал(а):

Что делать с пределом $0/0$?
1) перейти от "непрерывного" предела по $\Delta z$ к пределу по Гейне
2) пользуясь ограниченностью иксов, вытащить этот икс из-под знака предела соотв. заменой
3) ну и, собственно, практически всё

Каких иксов? Не очень понял, наверное, база матана хромает.

[ewert]

bahad в сообщении #870336 писал(а):

Каких иксов?

$\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{e^{-ix \Delta z} - 1}{\Delta z}=\Big[-ix\Delta z\equiv\Delta w\Big]=-ix\lim\limits_{\Delta w\to0}\dfrac{e^{\Delta w} - 1}{\Delta w} $

bahad в сообщении #870336 писал(а):

Равномерная!

Вот именно. Так вот именно для равномерности сходимости (и, в частности, для сохранения равномерности при этой замене) и необходима ограниченность иксов. И достаточна.

[bahad]

А откуда следует, что если $\hat{T} = 0$, то $T=0$ ? или это очевидно?

[mishafromusa]

bahad в сообщении #870372 писал(а):

А откуда следует, что если $\hat{T} = 0$, то $T=0$ ? или это очевидно?

Почти очевидно, посмотрите в учебнике на определение преобразования Фурье обощённых функций.

[Deggial]

bahad в сообщении #870318 писал(а):

<T, f> -> 0 при f -> 0

bahad, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.