Свертка обобщенных функций

[bahad]

Задача. Пусть $\varepsilon' (R^d)$ - пространство обобщенных функций с компактными носителями. Оно является алгеброй относительно свертки. Доказать, что эта алгебра не имеет делителей нуля, т.е. если $F \ast G=0$, то хотя бы один из них равен нулю.

Помогите с задачей. Прочитал много всего интересного в книжке Владимирова про обобщенные функции, в том числе увидел, что преобразование Фурье от свертки двух обобщ. функций(в моем случае) равно произведению преобразований Фурье каждой из обобщ. функций. Если взять преобразование Фурье нашего уравнения, то слева получим произведение преобразований Фурье, а справа - нуль. Из этого мы можем получить требуемое, или тут надо решать другим способом?

[Oleg Zubelevich]

нет, это не доказательство. Проверьте сперва утверждение для функций из $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ Это почти очевидно

[Oleg Zubelevich]

нет, Вы все правильно пишите. Преобразование Фурье это правильно. Если произведение двух аналитических функций равно нулю, то одна их них обязательно равна нулю.

[mishafromusa]

Существенный момент здесь состоит именно в том, что преобразованив Фурье обобщённой функции с компактным носителем -- всегда аналитическая функция.

[bahad]

mishafromusa в сообщении #869828 писал(а):

Существенный момент здесь состоит именно в том, что преобразованив Фурье обобщённой функции с компактным носителем -- всегда аналитическая функция.

А как доказывать аналитичность?

[Oleg Zubelevich]

$T$ -- распределение с компактным носителем, его преобразование Фурье: $\hat T(\xi)=(T,e^{-i\xi x})$ дальше раскладываем экспоненту в ряд Тейлора, используем непрерывность распределения в терминах неравенств с полунормами

[bahad]

Oleg Zubelevich в сообщении #870108 писал(а):

$T$ -- распределение с компактным носителем, его преобразование Фурье: $\hat T(\xi)=(T,e^{-i\xi x})$ дальше раскладываем экспоненту в ряд Тейлора, используем непрерывность распределения в терминах неравенств с полунормами

А что нам надо доказать для аналитичности?

[mishafromusa]

Нужно просто показать, что выражение $\hat T(\xi)=(T,e^{-i\xi x})$ $\hat T(\xi)=(T,e^{-i\xi x}) $ -- функция от $\xi$, дифференцируемая в комплексном смысле. Посмотрите учебник по комплексному анализу. Если продифференцировать по $\xi$ формально, то получится $(-ixT,e^{-i\xi x})$.

[Oleg Zubelevich]

ну да, а можно доказать, что ряд сходится , если будем доказывать скодимость ряда, то в качестве бонуса обнаружим, что $\hat T(\xi)$ --функция целая

[bahad]

mishafromusa в сообщении #870124 писал(а):

Нужно просто показать, что выражение $\hat T(\xi)=(T,e^{-i\xi x})$ $\hat T(\xi)=(T,e^{-i\xi x}) $ -- функция от $\xi$, дифференцируемая в комплексном смысле. Посмотрите учебник по комплексному анализу. Если продифференцировать по $\xi$ формально, то получится $(-ixT,e^{-i\xi x})$.

Для этой функции от $z=\xi + i\sigma$ проверил условия Коши Римана, они выполняются, этого дотаточно?

[Oleg Zubelevich]

смотря, что значит "проверил", дифференцируемость функции надо доказывать по определению

[ewert]

bahad в сообщении #870229 писал(а):

проверил условия Коши Римана, они выполняются, этого дотаточно?

Их можно было и не проверять -- они очевидно выполняются, если только есть дифференцируемость хотя бы в вещественном смысле. А вот сам факт дифференцируемости надо доказывать честно, увы.

[bahad]

Oleg Zubelevich в сообщении #870238 писал(а):

смотря, что значит "проверил", дифференцируемость функции надо доказывать по определению

Вы говорите, про дифференцируемость функций $u$ и $v$ ?

[Oleg Zubelevich]

bahad в сообщении #870269 писал(а):

Вы говорите, про дифференцируемость функций $u$ и $v$ ?

да

[bahad]

Oleg Zubelevich в сообщении #870272 писал(а):

bahad в сообщении #870269 писал(а):

Вы говорите, про дифференцируемость функций $u$ и $v$ ?

да

У меня что-то не получается:
$\Delta w/ \Delta z$ $=$ $((T, e^{-ix(z_0+\Delta z)}) - (T, e^{-ixz_0}))$ / $\Delta z$ = $(T, e^{-ix z_0}(e^{-ix \Delta z} - 1))$ / $\Delta z $