Поверхность второго порядка

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: определить вид поверхности и схематично изобразить ее:

$$x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz=0$$

Составляю матрицу из коэффициентов:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Собственные числа матрицы $A$:

$$\lambda_{1} = 3$$

$$\lambda_{2} = 1$$

$$\lambda_{3} = 0$$

Собственные векторы матрицы $A$:

$$\vec{l_{1}} = \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}, \vec{l_{2}} = \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} , \vec{l_{3}} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

Нормированные собственные векторы матрицы $A$:

$$\vec{s_{1}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \vec{s_{2}} = \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} , \vec{s_{3}} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

Матрица из нормированных собственных векторов:

$$S = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & -1 & 1 \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & 1\\ \frac{1}{\sqrt{6}} & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

В исходном уравнении коэффициенты при $x$, $y$ и $z$ равны нулю, тогда :

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Тогда

$$\vec{a'} = S^{T} \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Тогда, исходное уравнение принимает вид

$$3 \cdot (x')^2 + 1 (y')^2 =0$$

(коэффициенты при квадратах переменных -- собственные числа)

и далее

$$\frac{ (x')^2}{1^2} + \frac{(y')^2}{(\sqrt{3})^2} =0$$

Получилось каноническое уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей (изобразить их, соответственно нельзя).

Подскажите, пожалуйста, я вообще в правильную сторону пошел?

Спасибо!

[Ms-dos4]

Ответ верный, только всё намного проще - выделите полные квадраты и всё.

[ewert]

Limit79 в сообщении #870117 писал(а):

$$\frac{ (x')^2}{1^2} + \frac{(y')^2}{(\sqrt{3})^2} =0$$

Получилось каноническое уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей (изобразить их, соответственно нельзя).

Да? А чему равен $z'$ ?...

[ИСН]

Ничего не читал, но точка (0,0,0) очевидно входит - значит, изобразить хоть что-то можно. А может, и другие есть?

[Limit79]

Ms-dos4
А как их выделить, если есть $xy$ и $yz$?

ewert в сообщении #870125 писал(а):

Да? А чему равен $z'$ ?...

Тут у меня два варианта:
а) Ничему.
б) Любому значению.

Второй, имхо, наиболее вероятен, но обосновать не могу.

ИСН в сообщении #870160 писал(а):

Ничего не читал, но точка (0,0,0) очевидно входит - значит, изобразить хоть что-то можно. А может, и другие есть?

Еще входит $(1;2;1)$. Собственно, поэтому и создал тему...

[Otta]

Limit79 в сообщении #870237 писал(а):

А как их выделить, если есть $xy$ и $yz$?

Устная задача же ж. Посмотрите еще раз хорошо.

[Limit79]

Otta в сообщении #870242 писал(а):

Устная задача же ж. Посмотрите еще раз хорошо.

$(x-y)^2+(z-y)^2=0$

[Otta]

Верно. И когда сумма квадратов равна нулю?

[Limit79]

Otta в сообщении #870246 писал(а):

Верно. И когда сумма квадратов равна нулю?

Когда они оба равны нулю, то есть при $x=y$ и $z=y$. Правда, что делать дальше -- не знаю

[Otta]

Limit79 в сообщении #870251 писал(а):

Когда они оба равны нулю, то есть при $x=y$ и $z=y$.

Ну и хорошо. А это что?

[Limit79]

Otta в сообщении #870254 писал(а):

Ну и хорошо. А это что?

Две плоскости, причем их можно изобразить, странно это, так как оно отличается от

$$\frac{ (x')^2}{1^2} + \frac{(y')^2}{(\sqrt{3})^2} =0$$

Или не отличается, просто тут (после поворота) эти две плоскости перейдут в $x'=0$ и $y'=0$ ?

[mihailm]

Limit79 в сообщении #870237 писал(а):

...Еще входит $(1;2;1)$. Собственно, поэтому и создал тему...

Она не входит ни собственно, ни несобственно.

(Оффтоп)

придумайте какой нить другой повод для создания темы)))

[Limit79]

mihailm
Три единицы входят, пардон, опечатался.

[Otta]

Limit79 в сообщении #870257 писал(а):

Две плоскости, причем их можно изобразить, странно это, так как оно отличается от

А если еще раз подумать?

[Limit79]

Otta в сообщении #870260 писал(а):

А если еще раз подумать?

Limit79 в сообщении #870257 писал(а):

Или не отличается, просто тут (после поворота) эти две плоскости перейдут в $x'=0$ и $y'=0$ ?

Не так?

-- 01.06.2014, 13:56 --

В оригинальном задании к каноническому виду приводить не надо, надо просто определить тип и построить, поэтому, с собственными числами и векторами это я перемудрил, скорее всего