Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[ewert]

robot80 в сообщении #870142 писал(а):

Единственное место в курсе высшей математики для ВТУЗов, где пределы конструктивно используются - это исследование поведение функции вблизи асимптот

Это уже немало. Но, кроме того, есть ещё признаки сравнения, без которых жизни вообще нет, даже во втузах.

Так что без пределов никак, увы. Другое дело, что в стандартном курсе пределы занимают и впрямь раздражающе много места; как с этим бороться -- не знаю.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #870097 писал(а):

дело не в этом, глобальная липшицевость приводит к условиям на рост функций, например, $x^2$ глобально липшицевой функцией не является

Вроде, она как раз указанным методом дифференцируется.

ewert в сообщении #870137 писал(а):

Все эти алгебраические штучки имеют как минимум два недостатка: 1) маскируют физический смысл понятия и 2) создают иллюзию, что практические вычисления можно осуществлять точно.

Ну, насчёт "физического смысла понятия", как мы помним, не вам бы высказываться. Вы за него принимаете нечто, ни к физике, ни к смыслу отношения не имеющее...

В общем, в струе того, что обсуждалось в прошлых темах (и я их как раз перечитывал), такой подход, может быть, подошёл бы как "первый заход на понятие", с учётом того, что в школе до 11 класса включительно таких "заходов" предполагается несколько. (В целом на механику и электричество-магнетизм делается по 2 "захода", а формула $s=vt$ даётся даже трижды.)

mishafromusa в сообщении #870122 писал(а):

С другой стороны, общепринятое определение производной является частным случаем этого подхода, когда разложение на множители происходит для функций от $x$, непрерывных в точке $a$.

Нет, раскладывать на множители можно формулу. А функцию - можно раскладывать в ряд Фурье. Я сообразил, что вашим способом вы не возьмёте производную ни от $e^x,$ ни от $\sin x.$ Если только не подмените смысл выражения "раскладывать на множители", и не подставите в него одно из двух:
- честное объяснение "замечательных пределов" (не обязательно как пределов, а может быть, чего-то им эквивалентного);
- аксиоматическое объявление, что "производными от таких-то функций являются такие-то функции".

robot80 в сообщении #870142 писал(а):

Определние определенного интеграла через площадь - это конечно интересно, но теряется единый взгляд и подход к определению разных интегралов.

Почему? При помощи формул можно свести разные интегралы к одной площади. Перечислите конкретно те разные интегралы, которые вы имели в виду.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #870192 писал(а):

Вроде, она как раз указанным методом дифференцируется.

С позиций того, что написано в тексте, она не подпадает под метод вообще. (Я говорю только о том, что написано в тексте, проясняющие комментарии автор дал.)
Не существует такой константы $K$, что

$$|x_1^2-x_2^2|\le K|x_1-x_2|,\quad \forall x_1,x_2\in \mathbb{R}$$

[Munin]

Мы на разные места текста смотрим.

[robot80]

Munin

Цитата:

Почему? При помощи формул можно свести разные интегралы к одной площади. Перечислите конкретно те разные интегралы, которые вы имели в виду.

Разные - в смысли по типу различные - криволинейные, например. Как их свести к площадям, я не знаю.

ewert

Цитата:

Так что без пределов никак, увы. Другое дело, что в стандартном курсе пределы занимают и впрямь раздражающе много места; как с этим бороться -- не знаю.

Интересно, что к вычислению предлов обращаются два раза: до Лопиталя и после. Но зачем к пределам такое нимание - в учебниках для первого курса ни слова. Правда, если учесть, что в стандартном курсе последняя тема на исследование функции одного переменного - построение графика функции, то можно сделать вывод, что пределы нужны именно для построения графиков (исследование вблизи асимптот).
Ах да, как я мог забыть - теория рядов - признаки сходимости.Вот где пределы разнообразных функций и последовательностей точно нужны и используются.

[ewert]

robot80 в сообщении #870249 писал(а):

Но зачем к пределам такое нимание - в учебниках для первого курса ни слова.

В учебниках пределы необходимы просто потому, что на них строится всё дальнейшее. Но даже независимо от этой (чисто технической) стороны дела к пределам нужно просто привыкнуть как к идеологии. Без такой привычки невозможно, скажем, сознательно изучать численные методы. А на любое привыкание требуется время; так что хотя отводимое на них время и желательно минимизировать, но минимизировать до исчезающе малых величин все-таки невозможно, увы.

[Oleg Zubelevich]

по-моему, автор просто повторяет в неочень удачной форме стандартные определения:

Функция $f$ называется непрерывной в очке $x$ если имеет место разложение $f(x+h)=f(x)+\alpha(h),$ где $\alpha(h)\to 0$ при $h\to 0$. Его "ноу-хау" состоит в том, что вместо последнего предела предлагается написать $|\alpha(h)|\le ch$.
И тоже самое с производными. Функция дифференцируема в точке $x$ если $f(x+h)=f(x)+Ah+\beta(h)$ где $\beta(h)/h\to 0$ вместо последнего предела он предлагает написать $|\beta(h)|\le ch^2$ .Разумеется, это все неэквивалентные вещи, но что это упрощает?

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #870149 писал(а):

покажите доказательство которое упростилось по сравнению со стандартным

Принцип монотонности, т.е. что функция с неотрицательной производной не убывает, доказывается элементарно и в лоб. При классическом подходе она выводится из теоремы Лагранжа, которая выводится из теоремы Ролля, которая выводится при помощи теоремы Ферма о максимуме или минимуме, а существование максимума или минимума опирается на компактность замкнутого интервала. Что проще?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870590 писал(а):

При классическом подходе она выводится из теоремы Лагранжа, которая выводится из теоремы Ролля, которая выводится при помощи теоремы Ферма о максимуме или минимуме,

И все эти теоремы (буквально все!) абсолютно необходимы сами по себе, независимо от монотонности.

mishafromusa в сообщении #870590 писал(а):

а существование максимума или минимума опирается на компактность замкнутого интервала.

Ну и как Вы предлагаете доказывать сей факт без компактности?...

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #870304 писал(а):

И тоже самое с производными. Функция дифференцируема в точке $x$ если $f(x+h)=f(x)+Ah+\beta(h)$ где $\beta(h)/h\to 0$

Да я вообще не говорю про дифференцируемость в точке, в том-то и всё дело.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870594 писал(а):

Да я вообще не говорю про дифференцируемость в точке, в том-то и всё дело.

А функция вовсе не обязана быть дифференцируема глобально. Принципиально. Сугубо практически не обязана.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #870594 писал(а):

И все эти теоремы (буквально все!) абсолютно необходимы сами по себе, независимо от монотонности.

Не так уж они и нужны, а для доказательства монотонности и вовсе ни к чему.

ewert в сообщении #870593 писал(а):

Ну и как Вы предлагаете доказывать сей факт без компактности?

Я использую равномерную дифференцируемость, посмотрите в тексте на стр. 4. Это раз. Во вторых -- производная равномерно дифференцируемой функции автоматически непрерывна, и её можно проинтегрировать по Риману, для этого компактность не нужна. Чтобы проинтегрировать поточечную производную нужен интеграл Курцвеля-Хенстока, для которого компактность необходима.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870598 писал(а):

Я использую равномерную дифференцируемость, посмотрите в тексте на стр. 4.

Подсказка: без соображений компактности доказать существование точки максимума невозможно в принципе. "Равномерность дифференцируемости" тут ничем не поможет.

mishafromusa в сообщении #870598 писал(а):

Не так уж они и нужны,

пожалуйста; доказывайте (например) формулу для погрешности интерполяции без теоремы Ролля, а я погляжу

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870596 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870594 писал(а):

Да я вообще не говорю про дифференцируемость в точке, в том-то и всё дело.

А функция вовсе не обязана быть дифференцируема глобально. Принципиально. Сугубо практически не обязана.

Не обязана, но начинать изучение дифференцирования с патологий неразумно.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870603 писал(а):

начинать изучение дифференцирования с патологий неразумно.

Это модуль-то патологичен?... Вынужден разочаровать: без функции Хевисайда и жисть как-то не в жисть.