Сходимость интеграла

[Enot2]

Сходится ли $\int_{0}^{+\infty} x^2(1-e^{\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}})dx$?
Моя догадка: так как $x \to \infty$, то $x^2(1-e^{\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}}) \sim -\frac{x^2 \sin(x^4)}{x^2+1}$. Далее я пытался оценить сверху: $\sin(x^4)\leq 1$, но это ничего не дает из-за синуса, который может быть как положителен, так и отрицателен.
Подскажите, как дальше быть?

[ewert]

Сделать замену $x^4=t$.

[ИСН]

Пользование эквивалентностями в выражениях переменного знака может завести нас далеко. Перепишите через о-малые.

[ewert]

ИСН в сообщении #870156 писал(а):

Перепишите через о-малые.

Малых не хватит, они слишком малы. Нужны большие. Но это потом, а пока надо просто понять, что происходит в принципе. В первом приближении -- именно через эквивалентность.

[ИСН]

Да, но там потом ещё второй, который мог бы быть это самое, ну.

[Enot2]

Так, окей, получим $\frac{\sqrt t\sin(t)}{\sqrt t+1}$. Оценка синуса опять не работает, да и признаки тоже не работают. Мб расписать синус через Тейлора?

[ИСН]

Вы забыли dx.

[Enot2]

Да, точно
$\int_0 ^{+ \infty}\frac{\sin(t)}{4t^{\frac{1}{4}}(1+\sqrt t)}dt$
Тогда $f(x)=\sin(t), g(x)=\frac{1}{4t^{\frac{1}{4}}(1+\sqrt t)}$, сходится по признаку Дирихле

[provincialka]

Вот только изначальный интеграл был другой. И переход от него к вашему не доказан.

[ewert]

Enot2 в сообщении #870181 писал(а):

сходится по признаку Дирихле

Да. А вот теперь самое время вспомнить рекомендацию ИСН
и аккуратненько оценить вклад, который даёт остаток.

[ИСН]

Вывод, кажется, правильный, но есть нюанс. А если бы было $\int x(1-e^{\frac{\sin x^4}x})dx$?

[ewert]

ИСН в сообщении #870189 писал(а):

А если бы было $\int x(1-e^{\frac{\sin x^4}x})dx$?

Было бы то же самое, но на один шаг длиннее, и сам шаг был бы длиннее.

[ИСН]

O RLY?

[Enot2]

ewert в сообщении #870185 писал(а):

аккуратненько оценить вклад, который даёт остаток.

Вы имеете в виду, что мне следовало расписать через ряд Тейлора?
$1-e^{\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}}=\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}+\frac{(\frac{\sin(x^4)}{x^2+1})^2}{2}+\frac{(\frac{\sin(x^4)}{x^2+1})^3}{6}+o((\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}})^3)$
А зачем? Ведь у нас при $x \to \infty$ степень стремится к нулю, почему нельзя оставить только первое слагаемое?

[ewert]

Enot2 в сообщении #870211 писал(а):

почему нельзя оставить только первое слагаемое?

Потому, что пока Вы не знаете, сходится или нет интеграл от остатка -- Вы этого не знаете.