Теорема Барроу и теорема Ньютона-Лейбница. Кто следствие?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #869638 писал(а):

Она следует действительно из теоремы Лагранжа, но безо всякого Барроу

только из теоремы Лагранжа не следует, надо другие содержательные утверждения привлекать

ewert в сообщении #869638 писал(а):

С другой стороны, из теоремы Барроу она тоже следует, но уже безо всякого Лагранжа и при дополнительном предположении, что производная непрерывна.

ну доказывайте без теоремы Лагранжа, что разность первообразных является константой.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #869643 писал(а):

только из теоремы Лагранжа не следует, надо другие содержательные утверждения привлекать

Не надо. Только из Лагранжа и определения определённого интеграла (в предположении, естественно, что производная существует в интервале и интегрируема).

Oleg Zubelevich в сообщении #869643 писал(а):

ну доказывайте без теоремы Лагранжа, что разность первообразных является константой.

А понятие первообразной не имеет отношения к понятию определённого интеграла. Это вещь гораздо более ранняя и давно к этому моменту уже пройденная.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #869647 писал(а):

Не надо. Только из Лагранжа и определения определённого интеграла (в предположении, естественно, что производная существует в интервале и интегрируема).

приведите ссылочку плз на учебник в котором теорема Ньютона-Лейбница получена "Только из Лагранжа и определения определённого интеграла" да еще для случая когда производная только лишь интегрируема.

-- Пт май 30, 2014 20:17:51 --

ewert в сообщении #869647 писал(а):

А понятие первообразной не имеет отношения к понятию определённого интеграла. Это вещь гораздо более ранняя и давно к этому моменту уже пройденная.

а какое отношение к содержанию доказательства теоремы имеет учебный план?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #869657 писал(а):

приведите ссылочку плз на учебник в котором теорема Ньютона-Лейбница получена "только из Лагранжа" да еще для случая когда производная только лишь интегрируема.

Это же очевидно: для любого разбиения можно так выбрать точки, что соответствующая сумма Римана будет в точности равна $F(b)-F(a)$.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #869661 писал(а):

Это же очевидно: для любого разбиения можно так выбрать точки, что соответствующая сумма Римана будет в точности равна $F(b)-F(a)$.

очень хорошо. теперь ссылку на учебник предъявите в котором теорема Ньютона-Лейбница доказана вот так.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #869664 писал(а):

очень хорошо. теперь ссылку на учебник предъявите в котором теорема Ньютона-Лейбница доказана вот так.

Рудин, теорема 6.16.

[Oleg Zubelevich]

да, действительно, а я привык к другой технике.

-- Пт май 30, 2014 21:07:58 --

ну надо же самое простое доказательство и так редко встречается. У Никольского еще также сделано

[ex-math]

Название "теорема Барроу" сильно неканонично. Пришлось использовать поиск, чтобы понять о чем вообще речь.
ewert
А причем тут производная? Вроде достаточно непрерывности подынтегральной функции.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

g______d:

Пардон, но что тогда мешает действовать также в случае произвольного банахова пространства $X$.

Теорема. Пусть функция $f\in C([a,b],X)$ такова, что $f'(x)$ интегрируема по Риману на $[a,b]$. Тогда

$$\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$$

Доказательство. Применим теорему Ньютона -Лейбница к функции $x\mapsto(\psi, f(x)),\quad\psi\in X'$
получим

$$\Big(\psi,\int_a^bf'(x)dx-(f(b)-f(a))\Big)=0,\quad \forall\psi$$

причем это утверждение еще можно ослаблять вводя "слабое " определение производной через $X'$
но ведь про это должно быть где-то написано?

[ewert]

ex-math в сообщении #869690 писал(а):

Название "теорема Барроу" сильно неканонично.

Ну видите ли -- эти два утверждения качественно различаются по нужным для них предположениям. Надо же их как-то различать и по названиям. Традиционно к этой и приписана фамилия Барроу; насколько исторически справедливо -- не знаю, да это и неинтересно. Просто такая традиция.

ex-math в сообщении #869690 писал(а):

А причем тут производная? Вроде достаточно непрерывности подынтегральной функции.

В какой из теорем?... Для Барроу (про интеграл с переменным верхним пределом) непрерывность подынтегральной функции избыточна -- она тупо работает в точках непрерывности подынтегральной функции и в принципе не может работать для точек разрыва (хотя бы потому, что в них функцию можно переопределить как угодно, что никак не скажется на интеграле). Для Ньютона-Лейбница непрерывность производной тоже не нужна, но вот интегрируемость -- обязательна. Другое дело, что интегрируемость производной вроде как следует из её всюду существования и ограниченности, но это -- факт довольно нетривиальный, и я даже не помню, как он доказывается, так что в учебном курсе гораздо проще эту интегрируемость просто предположить (во всяком случае для начала).

А кстати: кто-нибудь знает, как?

[Oleg Zubelevich]

--

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #869694 писал(а):

Доказательство. Применим теорему Ньютона -Лейбница к функции $x\mapsto(\psi, f(x)),\quad\psi\in X'$

Это уже не "также" и даже не "так же", это уже называется ссылкой. А буквально "так же" нельзя -- нет формулы Лейбница.

[Oleg Zubelevich]

чего чего? впрочем вопрос был задан участнику мнение которого я уважаю (в отлиие от Вашего)

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #869700 писал(а):

Колмогоров-Фомин

Да, я слышал про существование такой книжки. А что?

-- Пт май 30, 2014 22:56:24 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #869704 писал(а):

которого я уважаю (в отлиие от Вашего)

Уважать или не уважать Вы можете кого угодно -- это Ваше личное дело. Но вот допускать элементарные логические подтасовки -- прилично уже не вполне.

[ex-math]

ewert
Просто всегда ее называл "теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу", а тут оказалось Барроу...

Я имел в виду доказательство ФНЛ исключительно из теоремы Лагранжа. Как я сейчас понял, "производной" Вы и назвали подынтегральную функцию, которая $F'$, а я подумал про $f'$, что и вызвало вопрос.