Геометрия, хитрая задача.

[Don-Don]

В треугольнике ABC известны длины сторон $AB=8$, $AC=64$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$.
Найдите $CD$.

Рисунок 1


Рисунок 2 (крупнее)


С чего тут начать, примерно что использовать, подскажите, пожалуйста!

[INGELRII]

Данных вроде бы маловато. Ответ зависит от угла $ABC$. Сразу видно, если рассмотреть два случая, когда он близок к $0$ и когда к $\pi$.

[nnosipov]

INGELRII в сообщении #869049 писал(а):

Данных вроде бы маловато. Ответ зависит от угла $ABC$.

Нет, ответ однозначен.

[TOTAL]

Don-Don в сообщении #869041 писал(а):

С чего тут начать, примерно что использовать, подскажите, пожалуйста!

По теореме синусов из треугольника $ABD$ найдите $AD$

[EtCetera]

nnosipov в сообщении #869050 писал(а):

INGELRII в сообщении #869049 писал(а):

Данных вроде бы маловато. Ответ зависит от угла $ABC$.

Нет, ответ однозначен.

В таком случае ответ можно найти методом "хитрого школьника", взяв произвольный, но удобный для вычислений $\triangle ABC$. Например, прямоугольный ($\angle ABC=90^{\circ}$).

[Don-Don]

TOTAL в сообщении #869061 писал(а):

Don-Don в сообщении #869041 писал(а):

С чего тут начать, примерно что использовать, подскажите, пожалуйста!

По теореме синусов из треугольника $ABD$ найдите $AD$

Спасибо, но ведь углы в этом треугольнике неизвестны(

[TOTAL]

Don-Don в сообщении #869120 писал(а):

Спасибо, но ведь углы в этом треугольнике неизвестны(

Треугольники $ABC$ и $ABD$ подобны.

[Don-Don]

TOTAL в сообщении #869133 писал(а):

Don-Don в сообщении #869120 писал(а):

Спасибо, но ведь углы в этом треугольнике неизвестны(

Треугольники $ABC$ и $ABD$ подобны.

А по какому признаку подобия? Вижу лишь, что есть только один общий угол...

[Someone]

Don-Don в сообщении #869156 писал(а):

Вижу лишь, что есть только один общий угол...

Продолжите $BD$ до пересечения с окружностью в точке $F$. Покажите, что $\triangle ABF$ равнобедренный. Вспомните свойства углов, вписанных в окружность.

[TOTAL]

Don-Don в сообщении #869156 писал(а):

TOTAL в сообщении #869133 писал(а):

Don-Don в сообщении #869120 писал(а):

Спасибо, но ведь углы в этом треугольнике неизвестны(

Треугольники $ABC$ и $ABD$ подобны.

А по какому признаку подобия? Вижу лишь, что есть только один общий угол...

Уголы $ABD$ и $ACB$ опираются на равные дуги (продлите $BD$ перпендикуляр к $AO$)

[INGELRII]

Если предположить, что треугольник прямоугольный и прямой угол это $B$, то ответ получается $\frac{512 \sqrt{65}}{65}$. Если же прямой угол будет $A$, то ответ выходит $\sqrt{3907}$. Сдается мне, эти числа не очень равны друг с другом...

[nnosipov]

INGELRII в сообщении #869260 писал(а):

Если предположить, что треугольник прямоугольный и прямой угол это $B$, то ответ получается $\frac{512 \sqrt{65}}{65}$. Если же прямой угол будет $A$, то ответ выходит $\sqrt{3907}$.

Ошибаетесь. Правильный ответ $63$.

[INGELRII]

Пусть угол $B$ прямой. Тогда центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы$AC$, то есть прямые $AO$ и $AC$ совпадают. Выходит, что искомая точка $D$ это основание перпендикуляра на гипотенузу. Отношение катетов равно $64/8=8$, $CD/AD=8^2=64$, $CD=AC 64/65=...$ Получается уж точно не 63

(Оффтоп)

прошу прощения, что так обрывочно пишу, но планшет плюс латех равно искалеченные пальцы

[EtCetera]

У Вас что-то странное написано. Длина перпендикуляра $\text{---}$ это просто $\frac{AB}{AC}\sqrt{AC^2-AB^2}$.

[INGELRII]

Так ищем-то мы не длину перпендикуляра, а длину $CD$. Перпендикуляром в моем случае будет $BD$, и его длина нам без особой надобности.