Задача

[Trius]

Доказать, что из любых пяти чисел можно выбрать два числа $x$ и $y$, для которых исполняется неравенство $ 0\leq \frac {x-y}{1+xy}\leq 1$

[arqady]

Trius писал(а):

Доказать, что из любых пяти чисел можно выбрать два числа $x$ и $y$, для которых исполняется неравенство $ 0\leq \frac {x-y}{1+xy}\leq 1$

Дирихле и тангенс разности.

[Руст]

На самом деле учитывая периодичность тангенса , ответ получается уже для четырёх чисел. А для пяти чисел можно сказать больше $0\le \frac{x-y}{1+xy}\le tg \frac{\pi}{5}.$

[neo66]

Руст писал(а):

На самом деле учитывая периодичность тангенса , ответ получается уже для четырёх чисел. А для пяти чисел можно сказать больше $0\le \frac{x-y}{1+xy}\le tg \frac{\pi}{5}.$

Сказали же - Дирихле ! Рассмотрите, например, такие пять чисел - $(100,1,0,-1,-100)$

[Руст]

neo66 писал(а):

Руст писал(а):

На самом деле учитывая периодичность тангенса , ответ получается уже для четырёх чисел. А для пяти чисел можно сказать больше $0\le \frac{x-y}{1+xy}\le tg \frac{\pi}{5}.$

Сказали же - Дирихле ! Рассмотрите, например, такие пять чисел - $(100,1,0,-1,-100)$

Сказано же, надо использовать периодичность, т.е. 5 точек на кругу длиной 5 образуют 5 расстояний.
Пусть х=-100, у=100, тогда $0<\frac{x-y}{1+xy}=\frac{200}{9999}<tg\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt 5 }=0.7236..$

[neo66]

Согласен. Поторопился .

[Trius]

Есть ли другое решение?

[TOTAL]

Trius писал(а):

Есть ли другое решение?

Числа -1, 0, 1 разбивают числовую ось на 4 интервала, в один из которых попадут 2 числа из пяти.