Добрый день.
У меня наступил логический тупик, который я не могу разрешить, помогите мне, пожалуйста.
Итак, всё началось с того, что я вычитал вот это:
Точки поверхности, не принадлежащие её границе, называются внутренними точками этой поверхности. Поверхность может не иметь границы. Такую поверхность называют замкнутой. Примером замкнутой поверхности является сфера.И я завис. Надолго. Ниже приводится мой поток сознания. Где же я прострелил себе колено в своих рассуждениях? Поставьте меня на путь истинный.
Итак...
Сразу возникает вопрос: у сферы нет границы, но она замкнута, но ведь множество замкнуто тогда и только тогда, когда содержит в себе в качестве подмножества свою границу. Которой нет. В то же время замкнутость сферы сомнений не вызывает.
С другой стороны, для того, чтобы точка принадлежала границе множества, необходимо и достаточно, чтобы любая её окрестность содержала бы как точки множества, так и точки его дополнения. И да, любая окрестность точки сферы охватывает какой-либо малый кусочек сферы и дополнения к сфере, то есть, выходит, сфера есть граница сферы. Ну, замыкание замыкания ничего не меняет, это неудивительно, если замкнуть сферу еще раз.
Однако, если любая окрестность точки охватывает как само множество, так и его дополнение, то она не содержится ни в одной из них, а следовательно, принадлежит границе.
Но замыкание есть объединение внутренности и границы, а так как повторное замыкание сферы есть всё та же сфера, то, получается, сфера была результатом замыкания какого-то другого множества, то есть является объединением внутренности и границы. Окей. Границы нет, а если множество совпадает со своей внутренностью, то оно открыто. Ага. Но для того, чтобы быть замкнутой, сфера должна совпадать со своим замыканием, что и происходит.
В общем, я окончательно запутался. Помогите мне как-то выйти из положения, например, ссылками на соответствующие книжки... или как-то иначе. Заранее спасибо.
Ах, да, верно ли, что сфера в
имеет меру нуль по Жордану?
