Вопрос на доказательство по интегралу

[rabbit-a]

Уважаемые математики не подскажете ли как решить номер из учебника Бермана N 3754

Пусть функция $f(x)$ непрерывна при $x\geqslant 0$ и при $x\rightarrow +\infty$
$ f(x)$ стремится к конечному пределу $f(+\infty)\in R.$ Доказать, при этих условиях, что если $a>0, b>0$ тогда
$ \int_0^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\ dx=\left[f(+\infty)-f(0)\right] \cdot \mathrm{\ln}\frac{a}{b}$

Пытался проинтегрировать по частям, или алгебраически преобразовать – ничего не получилось. Какая здесь идея доказательства? И откуда появляется логарифм? Может здесь нужно как-то продифференцировать?

[Limit79]

(Оффтоп)

В статье Формулы Фруллани в википедии есть доказательство.

[Brukvalub]

Нужно применить одну из теорем о среднем для интеграла.

[rabbit-a]

Хорошо, сейчас повторю, что мы изучали о среднем и беру еще день на размышление

[ewert]

rabbit-a в сообщении #868490 писал(а):

сейчас повторю, что мы изучали о среднем

Вряд ли Вы изучали что-то специально среднее насчёт исходного интеграла. Но вот если Вы представите его как предел $ \int_{\varepsilon}^{M}\frac{f(ax)}{x}\ dx-\int_{\varepsilon}^{M}\frac{f(bx)}{x}\ dx$, выведете напрашивающимися заменами параметры $a,\ b$ из подынтегральных функций в пределы интегрирования и затем сократите общую часть полученных интегралов -- вот тогда для каждого из оставшихся двух интегралов и впрямь тупо работает стандартная теорема о среднем (с автоматическим выскакиванием логарифма).

[rabbit-a]

Да спасибо большое, я уже разобрался с доказательством! Оказывается существует даже три формулы Фруллани, а без двух других теорем (формул Фруллани) соседние номера в Бермане не решаются, а теперь получается решить!