Предел обобщенных фунций

[Ivan0001]

$ \left\langle{ F_{n},\phi }\right\rangle \,\colon = v.p. \int\limits_{ \mathbb{R} } \frac{ \phi(x) - \phi(0) }{ x^{2} } \sin{kx} dx $. Cходится ли к чему-нибудь в $ \boldsymbol{D}' $. Если да, то к чему?

Как решить такую задачку?

[Oleg Zubelevich]

бывает полезно раскладывать $\psi$ на сумму четной и нечетной функций и интегрировать по частям

[ewert]

Ivan0001 в сообщении #868199 писал(а):

$ \left\langle{ F_{n},\phi }\right\rangle \,\colon = v.p. \int\limits_{ \mathbb{R} } \frac{ \phi(x) - \phi(0) }{ x^{2} } \sin{kx} dx $.

Ну, $\frac{ \varphi(x) - \varphi(0) }{ x }$ -- она как бы гладкая. А $\frac{\sin kx}{ x}$ -- оно как бы в некотором смысле ядро Дирихле. А вай-типа-фай тут и вовсе не при чём.

[Ivan0001]

Почему $\eta(x)(\varphi(x) - \varphi(0) - x \cdot \varphi(0)) \!\!\not{\phantom{|}}\, x $ - пробная функция? Здесь, $\eta(x)$ - пробная функция, $\eta(0)=1$. Почему $\psi(x) \cdot (1 - \eta(x)) \!\!\not{\phantom{|}}\, x$ - пробная функция?

-- 12.06.2014, 19:10 --

Допустим, в ходе решения нужно доказать сходимость интеграла. $\int\limits_{R} \frac{ (1-\eta(x))\sin(x) }{ x^2 } dx$. Правильно я это делаю? $\int\limits_{R} |\frac{ (1-\eta(x))\sin(x) }{ x^2 }| dx \leqslant \int\limits_{R} x^{-2} dx =0$.

[Ivan0001]

Проверьте на ошибки:
ссылки на изображения удалены.

[Lia]

Ivan0001
Замечание за использование картинок вместо набора формул. Наберите решение в соответствии с правилами форума, т.е. в $\TeX$.