2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 01:13 
Помогите решить задачу. Определить вид сходимости интегрального оператора.
$\mathbf B (L_2[0,1]) : A_n = A^n$, где $(Ax)(t) = \int_0^t K(t,s)x(s) ds$ , $ K \in L_2 ([0, 1]^2)$.
Можно оценить $\int^1_0(\int_0^t K(s,t)x(s )ds)^2dt \le ||x(t)||^2\int^1_0(\int_0^1 K^2(s,t)ds)dt$. Но без каких либо оценок на $K$ это ничего не дает.
Утверждается что $A_n \mapsto 0$.

 
 
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 06:16 
artvl в сообщении #867879 писал(а):
Можно оценить $\int^1_0(\int_0^t K(s,t)x(s )ds)^2dt \le ||x(t)||^2\int^1_0(\int_0^1 K^2(s,t)ds)dt$.

Слишком грубо. Это оператор Вольтерра и, следовательно, нильпотентен (т.е. имеет нулевой спектральный радиус).

 
 
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 13:35 
Я правильно понимаю, что из этого факта и определения спектрального радиуса прямо следует сходимость по норме к 0?
$$\lim_{n\to \infty} ||A^n||^{1/n} = 0 \Rightarrow ||A_n|| = ||A^n|| \mapsto 0 $$

 
 
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 21:55 
Правильно понимаете. Я, правда, не очень понимаю (в свою очередь), в чём глубокий философский смысл этой задачки. Нильпотентность оператора Вольтерра общеизвестна, а без неё тут как-то не совсем как или совсем никак. Предлагалось доказать именно её, что ли?...

 
 
 
 Re: Определить вид сходимости оператора
Сообщение26.05.2014, 23:06 
Честно говоря не уверен что такой смысл есть. Эта задача из книги "Задачи по ФА" Бородин, Шейпак, Савчук. Вдруг кому понадобится.
Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group