Введение в теорию алгебраических чисел

[Феликс Шмидель]

Порция 4.

Переведём некоторые определения, леммы и теоремы на язык групп по сложению.
Говоря о группе, будем иметь ввиду группу по сложению.
Говоря о нуле $0$, будем иметь ввиду нулевой элемент группы (а не целое число $0$).


Определение
-----------------

Группой называется множество $G$, на котором задана операция сложения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность)
2. существует $0 \in G$, такой что $0+a=a$ (существование левого нуля)
3. существует $-a \in G$, такой что $(-a)+a=0$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$.


Определение
------------------

Группа $G$ называется абелевой, если операция сложения коммутативна, то есть $a+b=b+a$ для любых $a, b \in G$.


Определение
------------------

Подмножество $A$ группы $G$ называется подгруппой, если:

1. $0 \in A$.
2. Для любого $a \in A: -a \in A$.
3. Для любых $a, b \in A: a+b \in A$.


Теорема 1.2
-----------------

(1) Пусть $A$ - непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $(-a)+b$.

(2) Пусть $A$ - конечное непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a+b$.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Левым смежным классом подгруппы $A$ называются множество элементов группы $G$ вида $g+A$, где $g$ - какой-либо элемент группы $G$.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g+A=A+g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.


Условие $g+A=A+g$ можно также записать в виде $A=(-g)+A+g$.


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Суммой смежных классов $g_1+A$ и $g_2+A$ называется смежный класс $(g_1+g_2)+A$.


Определение
------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы имеют вид $m g$, где $m$ - целое число.


Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то элементы вида $m g$, где $m$ - целое число, образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $m g=0$.
Элементами подгруппы являются: $0$, $g$, $2 g$, ..., $(m-1) g$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).


Определение
------------------

Пусть $G$ - группа, и $g \in G$ - какой-нибудь её элемент.
Порядком элемента $g$ называется наименьшее целое положительное число $m$, для которого $m g=0$.
Если такое $m$ не существует, то говорят, что элемент $g$ имеет бесконечный порядок.


Определение
------------------

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного нулевого элемента.


Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется суммой подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ представим в виде суммы $g=h_1+...+h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется прямой суммой подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде суммы $g=h_1+...+h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Случай $m=1$ не исключается.
В целях ясности, дадим для этого случая отдельное определение: группа $G$ называется прямой суммой одной подгруппы $H_1$, если $G=H_1$.


Теорема 1.10
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является суммой подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Группа $G$ является прямой суммой этих подгрупп тогда и только тогда, когда для любых $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ выполняется следующее условие:

(1) Если $h_1+...+h_m=0$ то $h_1=0, ..., h_m=0$.


Лемма 1.11
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является прямой суммой подгрупп $H_1, ..., H_m$, где $m>1$.

Тогда любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме нулевого $0$.


Теорема 1.12
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является суммой подгрупп $H_1$ и $H_2$.
Эта сумма является прямой тогда и только тогда когда подгруппы $H_1$ и $H_2$ не имеют общих элементов, кроме нулевого $0$.


Лемма 1.13
----------------

Пусть $H_1, ..., H_m$ - конечные подгруппы абелевой группы $G$, где $m>1$.
Если порядки этих подгрупп попарно взаимно-просты, то сумма $H_1+...+H_m$ является прямой суммой.


Определение
-----------------

Элементы $a_1, ..., a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $k_1 a_1+...+k_n a_n=0$ следует $k_1 a_1=0, ..., k_n a_n=0$, для любых целых чисел $k_1, ..., k_n$.


Определение
-----------------

Будем говорить, что элементы $a_1, ..., a_n$ генерируют абелеву группу $G$, если любой её элемент $g$ представим в виде суммы $g=t_1 a_1+...+t_n a_n$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа.


Определение
-----------------

Элементы $a_1, ..., a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они отличны от нулевого $0$, независимы и генерируют группу $G$.

[Феликс Шмидель]

Порция 5.


Перейдём к изучению бесконечных абелевых групп.

При этом, будем рассматривать группы по сложению.


Определение
-----------------

Абелева группа называется свободной если у неё есть базис и нет элементов конечного порядка, кроме нулевого $0$.


Базис может быть конечным или бесконечным, но мы пока не определили, что такое бесконечный базис, и этот случай рассматривать не будем.


Определение
------------------

Линейной комбинацией элементов $a_1, ..., a_n$ абелевой группы по сложению называется выражение $k_1 a_1+...+k_n a_n$, где $k_1, ..., k_n$ - целые числа.


Определение
-----------------

Элементы $a_1, ..., a_n$ абелевой группы по-сложению называются линейно-независимыми, если из $k_1 a_1+...+k_n a_n=0$ следует $k_1=0, ..., k_n=0$, для любых целых чисел $k_1, ..., k_n$.


Лемма 1.20
---------------

Для того, чтобы элементы $a_1, ..., a_n$ были линейно-независимыми необходимо и достаточно, чтобы они были независимыми и не содержали элементов конечного порядка.

Доказательство:
----------------------

Пусть элементы $a_1, ..., a_n$ независимы и не содержат элементов конечного порядка.
Покажем, что они линейно-независимы.
Пусть $k_1 a_1+...+k_n a_n=0$, где $k_1, ..., k_n$ - целые числа.
Поскольку элементы $a_1, ..., a_n$ независимы, то $k_1 a_1=0, ..., k_n a_n=0$.
Поскольку элементы $a_1, ..., a_n$ не имеют конечного порядка, то $k_1=0, ..., k_n=0$.
Значит, элементы $a_1, ..., a_n$ линейно-независимы.
Что и требовалось

Пусть теперь элементы $a_1, ..., a_n$ линейно-независимы.

Покажем, что они независимы.
Пусть $k_1 a_1+...+k_n a_n=0$, где $k_1, ..., k_n$ - целые числа.
Тогда $k_1=0, ..., k_n=0$, следовательно $k_1 a_1=0, ..., k_n a_n=0$.
Значит, элементы $a_1, ..., a_n$ независимы.
Что и требовалось

Покажем, что $a_1, ..., a_n$ не содержат элементов конечного порядка.
Предположим обратное, и пусть элемент $a_i$ имеет конечный порядок $m$, где $i$ - некоторый индекс.
Определим целые числа $k_1, ..., k_n$ следующим образом: $k_i=m$, а все остальные числа равны 0.
Тогда $k_1 a_1+...+k_n a_n=0$ и $k_i \ne 0$, поскольку $k_i=m>0$.
Это противоречит тому, что элементы $a_1, ..., a_n$ линейно-независимы.
Что и требовалось.


Лемма 1.21
---------------

Пусть $a_1, ..., a_n$ - базис свободной абелевой группы $A$.
Тогда любые $n+1$ элементов группы $A$ линейно-зависимы.

Доказательство:
----------------------

Предположим, что это не так.
Пусть $A$ - свободная абелева группа, для которой это не так, с наименьшим числом $n$ элементов базиса.
Для $n=1$ лемма верна, поскольку $(-t_2)(t_1 a_1)+t_1(t_2 a_1)=0$, и если $t_1$ и $t_2$ - различные целые числа, то хотя бы одно из них не равно нулю.
Поэтому $n>1$.
Пусть элементы $b_1, ..., b_{n+1}$ группы $A$ линейно-независимы.

Тогда элементы $b_1-b_2, b_2, ..., b_{n+1}$ тоже линейно-независимы.

Пусть $b_i=t_{i 1} a_1+...+t_{i n} a_n$, где $t_{i 1}, ..., t_{i n}$ - целые числа, для $i=1, ..., n+1$.

Если $t_{i 1}<0$ для какого-то $i$, заменим $b_i$ на $-b_i$.
Без ограничения общности, предположим, что $t_{1 1}, t_{2 1}, ..., t_{(n+1) 1} \ge 0$.

Переставим эти целые неотрицательные числа в порядке убывания.
Если после этого, второе число не равно нулю, то отнимая его от первого числа можно уменьшить общую сумму чисел.
Повторяя эти действия, можно добиться того, чтобы все числа, кроме первого, были равны нулю.

Переставляя элементы $b_1, ..., b_{n+1}$, заменяя $b_1$ на $b_1- b_2$ и повторяя эти действия, можно получить такие линейно-независимые элементы $c_1, ..., c_{n+1}$, где $c_i=k_{i 1} a_1+...+k_{i n} a_n$, что $k_{2 1}=0$, ...,$k_{(n+1) 1}=0$.

Пусть $C$ - подгруппа группы $A$, генерированная элементами $a_2, ...,a_{n}$.
Тогда $c_2, ..., c_{n+1} \in C$, и эти элементы линейно-зависимы, в силу минимальности $n$.
Что противоречит линейной независимости элементов $c_1, ..., c_{n+1}$.


Из доказанной леммы следует, что все базисы свободной абелевой группы имеют одинаковое количество элементов.


Определение
-----------------

Рангом свободной абелевой группы называется количество элементов в её базисе.


Лемма 1.22
---------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Любая нетривиальная подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.

Более того, существует такой базис $b_1, ..., b_m$ подгруппы $B$ (где $m \leq n$), что $b_i$ является линейной комбинацией элементов $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., m$.

Доказательство:
-------------------------

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $k a_1$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $k a_1\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.

Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $k a_1+k_2 a_2+...+k_n a_n \in B$, где $k_2, ..., k_n$ - целые числа.

Если такого $k$ не существует, то $B$ является подгруппой свободной абелевой группы с базисом $a_2$, ..., $a_n$ и лемма верна согласно предположению индукции (если $b_i$ является линейной комбинацией элементов $a_{i+1}, ..., a_n$, то $b_i$ является линейной комбинацией элементов $a_i, a_{i+1}, ..., a_n$, для любого $i=1, ..., m$).

Пусть $b_1=k a_1+k_2 a_2+...+k_n a_n$ - какой-либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Любой элемент подгруппы $B$ имеет вид $(t k) a_1+t_2 a_2+...+t_n a_n$, где $t$ - целое число, и $t_2, ..., t_n$ - целые числа.

Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $t_2 a_2+...+t_n a_n$.

Если $C$ тривиальна, то $B$ генерируется элементом $b_1$, поскольку $b-t b_1 \in C$ для любого $b=(t k) a_1+t_2 a_2+...+t_n a_n \in B$.

Пусть $C$ - нетривиальна.
Поскольку $C$ является подгруппой свободной абелевой группы, генерированной элементами $a_2, ..., a_n$, то согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$, удовлетворяющий условиям леммы, где $m\leq n$.

Элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ - линейно-независимы, так как если $t_1 b_1+...+t_m b_m=0$, то $t_1 k=0$ в силу линейной независимости элементов $a_1, ..., a_n$, значит $t_1 b_1=0$ и $t_2 b_2+...+t_m b_m=0$, значит $t_2=0$, ..., $t_m=0$ в силу линейной независимости элементов $b_2, ..., b_m$.

Элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ генерируют подруппу $B$, поскольку $b-t b_1 \in C$ для любого $b=(t k) a_1+t_2 a_2+...+t_n a_n \in B$, а элементы $b_2, ..., b_m$ генерируют подруппу $C$.

Поскольку элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ линейно-независимы и генерируют подруппу $B$, то они образуют её базис.


Определение
-----------------

Абелева группа называется конечно-генерированной, если она генерируется конечным числом элементов.


Теорема 1.23
-----------------

Пусть $A$ - конечно-генерированная абелева группа, не имеющая элементов конечного порядка, кроме нуля $0$.
Тогда $A$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Доказательство
------------------------

Пусть элементы $a_1$, ..., $a_k$ - генераторы группы $A$.
Пусть $n$ - наибольшее колличество линейно-независимых элементов, которые можно выбрать в $A$.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - линейно-независимые элементы, выбранные в $A$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, генерируемая элементами $b_1, ..., b_n$.

Тогда $b_1, ..., b_n$ - базис подгруппы $B$, а поскольку в ней нет элементов конечного порядка, кроме $0$, то $B$ - свободная абелева группа.

Ввиду максимальности $n$, для любого $j=1, ..., k:$ элементы $a_j$, $b_1$, ..., $b_n$ - линейно-зависимы, следовательно $m_j a_j \in B$ для некоторого целого положительного числа $m_j$.

Пусть $m$ - наименьшее общее кратное чисел $m_1$, ..., $m_k$.

Тогда для любого $a \in A: m a \in B$.

Пусть $C$ - множество всех элементов группы $A$, представимых в виде $m a$, где $a \in A$.

Тогда $C \subseteq B$.

Множество $C$ является подгруппой группы $B$, поскольку если $m x \in C$ и $m y \in A$, то $-(m x)+(m y)=m (-x+y) \in C$.
Поскольку $B$ - свободная абелева группа с конечным базисом и $C$ - подгруппа группы $B$, то согласно лемме 1.22, подгруппа $C$ тоже является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Пусть $m c_1, ..., m c_v$ - базис группы $C$, где $c_1, ..., c_v \in A$.

Элементы $c_1, ..., c_v$ линейно-независимы, так как если $t_1 c_1+...+t_v c_v=0$, где $t_1, ..., t_v$ - целые числа, то $t_1 (m c_1)+...+t_v (m c_v)=0$, следовательно $t_1=0, ..., t_v=0$.

Для любого $a \in A: m a$ принадлежит $C$ и является линейной комбинацией элементов базиса $m c_1, ..., m c_v$.
Значит, для любого $a \in A: m a=m c$, где $c$ является линейной комбинацией элементов $c_1, ..., c_v$.
Из $m a=m c$ следует $m (a-c)=0$, следовательно $a- c=0$, следовательно $a=c$, где предпоследнее равенство выполняется ввиду отсутствия элементов конечного порядка, кроме $0$.

Значит $c_1, ..., c_v$ генерируют группу $A$.

Поскольку элементы $c_1, ..., c_v$ линейно-независимы и генерируют группу $A$, то $c_1, ..., c_v$ - базис группы $A$.

Таким образом группа $A$, не имеющая элементов конечного порядка, имеет конечный базис.

Значит группа $A$ - свободная абелева группа с конечным базисом.


Теорема 1.24
------------------

Пусть $G$ - конечно-генерированная абелева группа, и $T(G)$ - подгруппа её элементов конечного порядка.
Тогда $T(G)$ - конечная группа.
Если подгруппа $T(G)$ не совпадает с группой $G$, то группа $G$ является прямой суммой некоторой своей подгруппы $A$ и $T(G)$.
При этом, подгруппа $A$ является свободной абелевой группой.


Доказательство:
----------------------

Покажем, что $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.

Если $T(G)$ совпадает с $G$, то это верно.

Пусть $T(G)$ не совпадает с $G$.

Фактор-группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой, поскольку такой является группа $G$.
Если элемент $g$ не принадлежит $T(G)$, то $t g$ не принадлежит $T(G)$, где $t$ - любое целое число, отличное от нуля.
Поэтому фактор-группа $G/T(G)$ не имеет элементов конечного порядка, кроме $T(G)$.

Значит, фактор-группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой, не имеющей элементов конечного порядка, кроме $T(G)$.
Согласно теореме 1.23, $G/T(G)$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Пусть $a_1+T(G)$, ..., $a_n+T(G)$ - базис фактор-группы $G/T(G)$.
Пусть $A$ - подгруппа группы $G$ генерируемая элементами $a_1$, ..., $a_n$.

Тогда $A$ не имеет с $T(G)$ общих элементов, кроме $0$.
В самом деле, если $a=t_1 a_1+...+t_n a_n \in T(G)$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа, то $t_1 (a_1+T(G))+...+t_n (a_n+T(G))=T(G)$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$, значит $a=0$.

Из этого следует, что в группе $A$ нет элементов конечного порядка, кроме $0$.

Элементы $a_1, ..., a_n$ линейно-независимы.
В самом деле, если $t_1 a_1+...+t_n a_n=0$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа, то $t_1 (a_1+T(G))+...+t_n (a_n+T(G))=T(G)$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$.

Поскольку элементы $a_1, ..., a_n$ линейно-независимы и генерируют подгруппу $A$, то они образуют её базис.

Значит подгруппа $A$ имеет конечный базис и не имеет элементов конечного порядка, кроме $0$.
Следовательно, $A$ - свободная абелева группа.

Группа $G$ является суммой подгрупп $A$ и $T(G)$, поскольку любой элемент фактор-группы $G/T(G)$ равен $a+T(G)$, где $a \in A$.

Поскольку подгруппы $A$ и $T(G)$ не имеют общих элементов, кроме $0$, то группа $G$ является прямой суммой подгрупп $A$ и $T(G)$, в силу теоремы 1.12.

Любой из конечного числа генераторов группы $G$ представим в виде суммы элемента из $T(G)$ и элемента из $A$.
Пусть $b_1+c_1, ..., b_m+c_m$ - генераторы группы $G$, где $b_1, ..., b_m \in T(G)$, а $c_1, ..., c_m \in A$.

Покажем, что элементы $b_1, ..., b_m$ генерируют группу $T(G)$.
Для любого $b \in T(G):$ $b=t_1 (b_1+c_1)+...+t_m (b_m+c_m)=(t_1 b_1+...+t_m b_m)+(t_1 c_1+...+t_m c_m)$, где $t_1, ..., t_m$ - целые числа.
Значит, $t_1 c_1+...+t_m c_m \in T(G)$.
Поскольку $t_1 c_1+...+t_m c_m \in A$, и подгруппы $A$ и $T(G)$ не имеют общих элементов, кроме $0$, то $t_1 c_1+...+t_m c_m=0$.
Значит для любого $b \in T(G): b=t_1 b_1+...+t_m b_m$, где $t_1, ..., t_m$ - целые числа.
Что и требовалось.

Значит, $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.

Поскольку генераторы группы $T(G)$ имеют конечный порядок, то $T(G)$ - конечная группа.

[Феликс Шмидель]

Порция 6.

Теорема 1.25
------------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Пусть $B$ - нетривиальная подгруппа ранга $m$ группы $A$.

Фактор группа $A/B$ конечна тогда и только тогда, когда $m=n$.

Доказательство
---------------------

Согласно лемме 1.22, $m\leq n$.

1. Пусть фактор группа $A/B$ конечна.

Пусть $k$ - порядок группы $A/B$.
Пусть $C$ - подгруппа элементов вида $k a$, где $a \in A$.

Для любого $a \in A$: $k a \in B$, следовательно $C$ является подгруппой группы $B$.

Если $a_1, ..., a_n$ - базис группы $A$, то $k a_1, ..., k a_n$ - базис группы $C$.
Следовательно, ранг группы $C$ равен $n$.

Поскольку ранг группы $B$ равен $m$, ранг группы $C$ равен $n$, и $C$ является подгруппой группы $B$, то $n \leq m$, в силу леммы 1.22.

Значит $m=n$.

2. Пусть $m=n$.

Фактор-группа $A/B$ конечно-генерирована, поскольку группа $A$ конечно-генерирована.

Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - базис группы $B$.

Согласно лемме 1.21, для любого $a \in A:$ элементы $a, b_1, ..., b_n$ линейно-зависимы, поэтому $k a \in B$ для некоторого ненулевого целого числа $k$.

Значит любой элемент $a B$ фактор-группы $A/B$ имеет конечный порядок.
Поскольку группа $A/B$ конечно-генерирована, и её генераторы имеют конечный порядок, то она конечна.


Лемма 1.26
---------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$ с базисом $a_1, ..., a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1, ..., b_n$.

Пусть $b_i=k_{i i} a_i+...+k_{i n} a_n$, где $k_{i i}, ..., k_{i n}$ - целые числа, для любого $i=1, 2, ..., n$.

Тогда порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{1 1}|...|k_{n n}|$.

Доказательство:
----------------------

Заметим, что $k_{i i} \ne 0$ для любого $i=1, 2, ..., n$.
Это следует из независимости элементов $b_i, ..., b_n$.
В самом деле, если $k_{i i}=0$, то элементы $b_i, ..., b_n$ зависимы, в силу леммы 1.21, поскольку принадлежат свободной абелевой группе, генерированной элементами $a_{i+1}, ..., a_n$.

Любой элемент подгруппы $B$ имеет вид: $m_1 b_1+...+m_n b_n$, где $m_1, ..., m_n$ - целые числа.

Подставляя в эту сумму $b_i=k_{i i} a_i+...+k_{i n} a_n$, при $i=1, 2, ..., n$, получим:

$m_1 b_1+...+m_n b_n=s_1 a_1+...+s_n a_n$,

где $s_i=m_1 k_{1 i}+...+m_i k_{i i}$, для любого индекса $i=1, ..., n$.

Значит

(I) любой элемент подгруппы $B$ имеет вид: $s_1 a_1+...+s_n a_n$,

где $s_1=k_{1 1} m_1$, $s_2=k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2$, ..., $s_n=k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$,

$m_1, ..., m_n$ - целые числа.

Наша задача показать, что в любом смежном классе фактор-группы $A/B$ имеется один и только один элемент $t_1 a_1+...+t_n a_n$, такой, что $t_1, ..., t_n$ - целые числа , удовлетворяющие неравенствам $0 \le t_1<|k_{1 1}|$, ..., $0 \le t_n<|k_{n n}|$.

Пусть элементы $t_1 a_1+...+t_n a_n$ и $t'_1 a_1+...+t'_n a_n$ принадлежат одному смежному классу фактор-группы $A/B$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа , удовлетворяющие неравенствам $0 \le t_1<|k_{1 1}|$, ..., $0 \le t_n<|k_{n n}|$, и $t'_1, ..., t'_n$ - целые числа , удовлетворяющие неравенствам $0 \le t'_1<|k_{1 1}|$, ..., $0 \le t'_n<|k_{n n}|$.

Покажем, что $t_1=t'_1, ..., t_n=t'_n$.
Имеем: $(t_1-t'_1) a_1+...+(t_n-t'_n) a_n \in B$.
В силу (I), $t_1-t'_1=k_{1 1} m_1$, $t_2-t'_2=k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2$, ..., $t_n-t'_n=k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$, где $m_1, ..., m_n$ - целые числа.

Покажем, что $m_1=0, ..., m_n=0$.
Предположим, что это не так, и пусть $i$ - наименьший индекс, для которого $m_i \ne 0$.
Тогда $t_i-t'_i=k_{i i} m_i$ (поскольку $t_i-t'_i=k_{1 i} m_1+k_{2 i} m_2+...+k_{i i} m_i$).
Следовательно, $t_i \equiv t'_i$ по модулю $|k_{i i}|$.
Значит, $t_i=t'_i$, поскольку $0 \le t_i<|k_{i i}|$ и $0 \le t'_i<|k_{i i}|$.
Поскольку $t_i-t'_i=k_{i i} m_i$, то $m_i=0$, что противоречит предположению.
Значит $m_1=0, ..., m_n=0$.

Следовательно, $t_1=t'_1, ..., t_n=t'_n$, поскольку $t_1-t'_1=k_{1 1} m_1$, $t_2-t'_2=k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2$, ..., $t_n-t'_n=k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$.
Что и требовалось.

Покажем теперь, что в любом смежном классе фактор-группы $A/B$ имеется такой элемент $t_1 a_1+...+t_n a_n$, что $t_1, ..., t_n$ - целые числа , удовлетворяющие неравенствам $0 \le t_1<|k_{1 1}|$, ..., $0 \le t_n<|k_{n n}|$.

Из (I) следует:

(II) любой элемент $v_1 a_1+...+v_n a_n$ группы $A$, где $v_1, ..., v_n$ - целые числа, находится в одном смежном классе фактор-группы $A/B$ c элементом вида: $t_1 a_1+...+t_n a_n$,

где $t_1=v_1+k_{1 1} m_1$, $t_2=v_2+k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2$, ..., $t_n=v_n+k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$,

$m_1, ..., m_n$ - целые числа.

В любом смежном классе фактор-группы $A/B$ выберем произвольный элемент $v_1 a_1+...+v_n a_n$ группы $A$, где $v_1, ..., v_n$ - целые числа.
Определим целые числа $t_1, ..., t_n$, удовлетворяющие неравенствам $0 \le t_1<|k_{1 1}|$, ..., $0 \le t_n<|k_{n n}|$, и целые числа $m_1, ..., m_n$ последовательно, в следующем порядке: $t_1, m_1, ..., t_n, m_n$ следующими сравнениями и равенствами:

$t_1 \equiv v_1$ по модулю $k_{1 1}$, $m_1=(t_1-v_1)/k_{1 1}$,
$t_2 \equiv v_2+k_{1 2} m_1$ по модулю $k_{2 2}$, $m_2=(t_2-(v_2+k_{1 2} m_1))/k_{2 2}$,
...,
$t_n \equiv v_n+k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{(n-1) n} m_{n-1}$ по модулю $k_{n n}$, $m_n=(t_n-(v_n+k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{(n-1) n} m_{n-1}))/k_{n n}$.

Тогда $t_1=v_1+k_{1 1} m_1$, $t_2=v_2+k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2$, ..., $t_n=v_n+k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$.
Следовательно, элемент $v_1 a_1+...+v_n a_n$ находится в одном смежном классе фактор-группы $A/B$ с элементом $t_1 a_1+...+t_n a_n$, в силу (II).
Что и требовалось.

Значит, в любом смежном классе фактор-группы $A/B$ имеется один и только один элемент $t_1 a_1+...+t_n a_n$, такой, что $t_1, ..., t_n$ - целые числа , удовлетворяющие неравенствам $0 \le t_1<|k_{1 1}|$, ..., $0 \le t_n<|k_{n n}|$.

Поскольку любой такой элемент $t_1 a_1+...+t_n a_n$ принадлежит некоторому смежному классу, то порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{11}|...|k_{nn}|$.


В дальнейшем, нам понадобятся понятия и теоремы линейной алгебры, в частности матрицы, детерминанты, умножение матриц и ассоциативность этого умножения.
Будем считать эти понятия и теоремы линейной алгебры известными.

Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется квадратной.
Детерминант квадратной матрицы $M$ обозначается $|M|$.


Определение
-----------------

Квадратная матрица называется унимодулярной, если её детерминант равен $1$ или $-1$.


Лемма 1.26 является частным случаем теоремы о том, что порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы перехода от базиса группы $A$ к базису подгруппы $B$.
В лемме 1.26, матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $b_1, ..., b_n$ имеет вид:

$M=\left( \begin{array} {cccc} k_{1 1} & k_{1 2} & \ldots & k_{1 n} \\ 0 & k_{2 2} & \ldots & k_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & k_{n n} \end{array} \right)$

Матрица перехода определяется следующим образом: базисы записываются в виде столбцов $a=\left( \begin{array} {c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)$, $b=\left( \begin{array} {c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$, а матрицей перехода от базиса $a$ к базису $b$ называется матрица целых чисел $M$, удовлетворяющая равенству $b=M a$.


Лемма 1.27
---------------

Пусть $b_1, ..., b_n$ и $c_1, ..., c_n$ - два базиса одной и той же абелевой группы $B$.
Тогда матрица перехода от одного базиса к другому унимодулярна.

Доказательство:
----------------------

Пусть $b=\left( \begin{array} {c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$, $c=\left( \begin{array} {c} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{array} \right)$.

Пусть $c=M_1 b$ и $b=M_2 c$, где $M_1$ и $M_2$ - матрицы перехода от базиса $b$ к базису $c$ и, наоборот, от $c$ к $b$.

Тогда $b=M_2 c=M_2 (M_1 b)=(M_2 M_1) b$, значит $b=(M_2 M_1) b$, значит $M_2 M_1=I$, где $I$ - единичная матрица.

Поэтому $|M_2 M_1|=1$.
Поскольку $|M_2 M_1|=|M_2| |M_1|$ и детерминанты $|M_1|$ и $|M_2|$ являются целыми числами, то обе матрицы $M_1$ и $M_2$ унимодулярны.


Теорема 1.28
-----------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $M$ - матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $b_1, ..., b_n$.

Тогда порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы $M$.


Доказательство
---------------------

Пусть $c_1, ..., c_n$ - такой базис подгруппы $B$, что $c_i$ является линейной комбинацией элементов $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., n$.
Такой базис существует, в силу леммы 1.22.
Пусть $M_1$ - матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $c_1, ..., c_n$.
Согласно лемме 1.26, порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы $M_1$.
Пусть $M_2$ - матрица перехода от базиса $c_1, ..., c_n$ к базису $b_1, ..., b_n$.
Тогда $M=M_2 M_1$, поскольку из $c=M_1 a$ и $b=M_2 c$ следует $b=M_2 (M_1 a)=(M_2 M_1) a$.
Cогласно лемме 1.27, матрица $M_2$ унимодулярна.
Значит, $|M|=|M_2 M_1|=|M_2| |M_1|=|M_1|=|A/B|$.
Значит $|A/B|=|M|$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Порция 7

Определение
------------------

Функция $f: G \rightarrow H$ из группы $G$ в группу $H$ называется гомоморфизмом, если
$f(a b)=f(a) f(b)$, для любых элементов $a$ и $b$ группы $G$.


Определение
------------------

Ядром гомоморфизма (обозначаемым $\operatorname{Ker}(f)$) называется множество элементов группы $G$, переводимых в единицу группы $H$.


Определение
------------------

Взаимно-однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.


Теорема 1.29
------------------

Пусть $f: G \rightarrow H$ - гомоморфизм из группы $G$ в группу $H$.

(1) Гомоморфизм $f$ переводит единицу группы $G$ в единицу группы $H$. Также $f$ переводит обратные элементы в обратные: $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$.

(2) Образ $f(G)$ является подгруппой группы $H$.

(3) Ядро гомоморфизма $\operatorname{Ker}(f)$ является нормальной подгруппой группы $G$.

(4) Подгруппа $f(G)$ изоморфна фактор группе $G/ \operatorname{Ker}(f)$.

Доказательство:
---------------------

Покажем (1).

Пусть $e_G$ - единица группы $G$, и $e_H$ - единица группы $H$.
Поскольку $f(e_G)=f(e_G e_G)=f(e_G) f(e_G)$, то $f(e_G)=f(e_G) f(e_G)$, следовательно $f(e_G)=e_H$.
Поскольку $f(e_G)=f(a^{-1} a)=f(a^{-1}) f(a)$ и $f(e_G)=e_H$, то $f(a^{-1}) f(a)=e_H$, следовательно $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$.
Что и требовалось.

Покажем (2).

Для любых $a, b \in G: (f(a))^{-1} f(b)=f(a^{-1}) f(b)=f(a^{-1} b) \in f(G)$.
Следовательно, для любых $x, y \in f(G): x^{-1} y \in f(G)$.
Значит $f(G)$ - подгруппа группы $H$, в силу теоремы 1.2 (1).

Покажем (3).

Ядро гомоморфизма $\operatorname{Ker}(f)$ - непустое подмножество группы $G$, поскольку содержит $e_G$, в силу (1).
Для любых $a, b \in \operatorname{Ker}(f): f(a^{-1} b)=(f(a))^{-1} f(b)=e_H$.
Следовательно, для любых $a, b \in \operatorname{Ker}(f): a^{-1} b \in \operatorname{Ker}(f)$.
Значит $\operatorname{Ker}(f)$ - подгруппа группы $G$, в силу теоремы 1.2 (1).
Покажем, что $\operatorname{Ker}(f)$ -нормальная подгруппа группы $G$.
Для любых $g \in G$ и $a \in \operatorname{Ker}(f): f(g^{-1} a g)=(f(g))^{-1} f(a) f(g)=(f(g))^{-1} e_H f(g)=e_H$, следовательно $g^{-1} a g \in \operatorname{Ker}(f)$.
Значит, $\operatorname{Ker}(f)$ -нормальная подгруппа.
Что и требовалось.

Покажем (4).

Пусть $\varphi: G/ \operatorname{Ker}(f) \rightarrow f(G)$ - функция, переводящая смежный класс $a \operatorname{Ker}(f)$ в $f(a)$.

Покажем, что функция $\varphi$ определена корректно, то есть если $a \operatorname{Ker}(f)=b \operatorname{Ker}(f)$, то $f(a)=f(b)$.
Пусть $a \operatorname{Ker}(f)=b \operatorname{Ker}(f)$.
Тогда $a^{-1} b \in \operatorname{Ker}(f)$, в силу теоремы 1.3 (3).
Следовательно, $f(a^{-1} b)=e_H$, следовательно $(f(a))^{-1} f(b)=e_H$, следовательно $f(a)=f(b)$.
Что и требовалось.

Функция $\varphi$ - гомоморфизм, поскольку $\varphi((a \operatorname{Ker}(f))(b \operatorname{Ker}(f)))=\varphi((a b) \operatorname{Ker}(f))=f(a b)=f(a) f(b)=\varphi(a \operatorname{Ker}(f)) \varphi(b \operatorname{Ker}(f))$.

Покажем, что функция $\varphi$ - инъективна, то есть если $\varphi(a \operatorname{Ker}(f))=\varphi(b \operatorname{Ker}(f))$, то $a \operatorname{Ker}(f)=b \operatorname{Ker}(f)$.
Пусть $\varphi(a \operatorname{Ker}(f))=\varphi(b \operatorname{Ker}(f))$.
Тогда $f(a)=f(b)$, следовательно $f(a^{-1} b)=(f(a))^{-1} f(b)=e_H$, следовательно $a^{-1} b \in \operatorname{Ker}(f)$, следовательно $a \operatorname{Ker}(f)=b \operatorname{Ker}(f)$, в силу теоремы 1.3 (3).
Что и требовалось.

Покажем, что функция $\varphi$ - сюръективна, то есть для любого $y \in f(G):$ существует $x \in G/ \operatorname{Ker}(f)$, такой, что $\varphi(x)=y$.
Пусть $y=f(a)$.
Тогда $\varphi(a \operatorname{Ker}(f))=f(a)=y$.
Следовательно, $\varphi(x)=y$, где $x=a \operatorname{Ker}(f)$.
Что и требовалось.

Значит функция $\varphi$ инъективна и сюръективна, следовательно взаимно-однозначное соответствие.
Поскольку функция $\varphi$ - гомоморфизм и взаимно-однозначное соответствие, то $\varphi$ - изоморфизм.

Определение
------------------

Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом.


Определение
------------------

Изоморфизм $f: G \rightarrow G$ группы в себя называется автоморфизмом.

[Феликс Шмидель]

Мы закончили наше введение в теорию абелевых групп. Сделаем некоторые критические замечания.
Мы предполагаем наличие некоторых знаний, поэтому желательно, чтобы читатель ознакомился с первой главой "Числа и множества" учебника "Алгебра" Ван-Дер-Вардена. В определении группы, следует говорить о произвольной бинарной операции, а не об операции умножения. Затем, следует отметить, что мы будем иметь дело с группами по умножению и по сложению. В группах по умножению, лучше использовать обозначение единицы $1$, а не $e$. Под $1$ следует понимать единичный элемент группы или натуральное число $1$, в зависимости от контекста. Вообще говоря, единичный элемент группы и натуральное число $1$ - разные вещи, но могут совпадать. То же самое касается нуля $0$. В доказательстве теоремы 1.15 лучше переместить предложение:

Цитата:

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C, ..., b_m C$, где элементы $b_1, ..., b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.

поближе к началу. Следует показать идейную простоту доказательства, а детали изложить в отступлении.

[Феликс Шмидель]

Я внёс несколько изменений в написанный текст, в частности, обозначил начальные элементы групп по сложению и умножению чарез $0_e$ и $1_e$, чтобы отличать их от целых чисел $0$ и $1$.
Кроме этого, я добавил две теоремы:

Теорема 1.14.1
-------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$, где $p_1, ..., p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1, ..., H_m$ -подгруппы порядка $p_1^{k_1}, ..., p_m^{k_m}$.

Если все подгруппы $H_1, ..., H_m$ циклические, то $G$ - циклическая группа.


Доказательство:
---------------------

Пусть $h_1, ..., h_m$ - генераторы подгрупп $H_1, ..., H_m$ соответственно.
Пусть $g=h_1...h_m$.

Поскольку $g^{|g|}=1_{e}$, то $h_1^{|g|}...h_m^{|g|}=1_{e}$.
Следовательно, $h_1^{|g|}=1_{e}, ..., h_m^{|g|}=1_{e}$, в силу теоремы 1.14 и условия (1) теоремы 1.10.
Значит, $|g|$ делится на порядки элементов $h_1, ..., h_m$.
Следовательно, $|g|$ делится на $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$.
Следовательно $|g|=|G|$, поскольку $|G|$ делится на $|g|$, в силу теоремы 1.4.
Значит $|G|$ - циклическая группа.
Что и требовалось.


Теорема 1.19.1
-------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.

Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Колличество этих подгрупп и их порядки определены однозначно с точностью до перестановки.

Если $H$ не является циклической группой, то её разложение в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп не является однозначным.


Доказательство:
----------------------

Эта теорема следует из теоремы 1.15, леммы 1.17, теоремы 1.18 и теоремы 1.19.


Теорема 1.14.1 используется для доказательства того, что конечные группы по умножению в любом поле являются циклическими.
Это утверждение, в свою очередь, используется для доказательства теоремы о примитивном элементе в случае расширения конечного поля.

Теорема 1.19.1 необходима, потому что она является основным утверждением, для доказательства которого используются теорема 1.15, лемма 1.17, теорема 1.18 и теорема 1.19.

Изменения вносятся теперь в сохранённые порции на диске, которые проверяются, используя просмотр форумского редактора.
Пока написана ещё одна 8-я порция.