ВСО УГАТУ

[denisart]

Всероссийская студенческая олимпиада по математике УГАТУ 21 мая 2014 г. Конечно не смотрим, что некоторые задачи - баян.

1. Если $f(x) \in C [0,1]$, $b>a>0$, то чему равен $\lim\limits _{\varepsilon \to 0+} \int\limits_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} f(x) \frac{dx}{x}$?

2. Найти кривую (уравнение кривой), которую описывает основание высоты, опущенной из вершины прямого угла на отрезок длины $2a$, концы которого скользят по сторонам данного угла.

3. Найдите все дифференцируемые функции. определенные на всей числовой прямой, для которых при любых вещественном $x$ и целом положительном $n$ выполняется равенство
$f' (x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$.

4. Какова вероятность, что прямая, наудачу брошенная на плоскость и пересекающая окружность радиуса $r$, пересечет отрезок длины $2l$, лежащий на диаметре симметрично относительно центра окружности.

5. Дано $y(0)=0$ и $y'=\frac{1}{2}(\sin^2(xy+1)+\frac{1+2\sqrt{xy}}{1+x+y})$. Доказать, что график $y=y(x)$, лежащий в 1 четверти, заключен между прямыми $y=0$ и $y=x$.

6. Касательные к параболе $y^2=2px$ в точках $A$, $B$, $C$ образуют треугольник $KLM$. Доказать, что площадь треугольника $ABC$ в два раза больше площади треугольника $KLM$.

7. Дано $\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. Найти $f(y)= \int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2}\cos(2xy)dx $.

[Oleg Zubelevich]

по-моему интересна только задача 3) ,остальные стандартны

[denisart]

Она была тут