уравнение в натуральных числах

[rightways]

Найдите все натуральные числа $x,y$ для которых

$x^2+xy+y^2=19^3$

[Sonic86]

Это стандартное уравнение поиска чисел с заданной нормой в кольце алгебраических чисел, в данном случае - в $\mathbb{Z}[\omega], \omega=\exp\frac{2\pi i}{3}$:
$N(x-\omega y)=19^3$
$19\equiv 1\pmod 3$, значит $19=\pi\bar{\pi}$ в $\mathbb{Z}[\omega]$ (находим само $\pi=3-2\omega$).
Ну и дальше $x-\omega y = (-\omega)^k\pi^a\bar{\pi}^b, k=1,...,6, a+b=3, a,b\geqslant 0$, все.

[fibonacci]

Можно даже использовоть дискриминат, относительно x.