"Теория множеств" Бурбаки

[absque]

Начал читать «Теорию множеств» Бурбаки. По ходу чтения возникают некоторые вопросы. Начну с аксиоматики.
То, что аксиома пары (как и субстантивный знак пары) излишни (и исключены из издания «Теории множеств» 1970-го года), я уже знаю. Но мне кажется лишней ещё целая схема аксиом – S7:

$(\forall x)(R\Leftrightarrow S)\Rightarrow (\tau_{x}(R)=\tau_{x}(S))$

Пока я встречал лишь единственное использование этой схемы – для доказательства теоремы $(\forall x)(x=x)$. Но в теории множеств эту же теорему можно вывести из аксиомы экстенсиональности $ (\forall x)(\forall y)((x \subset y \text{ and } y \subset x) \Rightarrow x = y)$. Кроме того, если $R$ и $S$ функциональны по $x$, то $(\forall x)(R\Leftrightarrow S)\Rightarrow (\tau_{x}(R)=\tau_{x}(S))$ выводится как теорема, а случай, когда $R$ функционально по $x$, в конечном итоге, и является единственным случаем, в котором терм $\tau_{x}(R)$ имеет внятную интуитивную интерпретацию.

У меня две мысли, зачем Бурбаки вводят эту схему.
1. Возможно, они хотели полностью построить эгалитарную теорию (со всеми свойствами равенства) до того, как вводить теорию множеств со знаком принадлежности. Имея в виду, что на этой основе можно построить и какую-нибудь другую эгалитарную теорию, помимо теории множеств.
2. Как следует из Главы II, $\S$ 1, упр. 6, если вместо аксиомы экстенсиональности ввести аксиому $(\forall y)(y = \tau_{x}((\forall z)(z \in x \Leftrightarrow z \in y)))$, то в таком случае схема S7 была бы необходима. Возможно, вначале Бурбаки предполагали ввести именно такой вариант аксиомы.

Возможно, я ошибаюсь, и схема S7 ещё будет использоваться Бурбаки в дальнейшем?

[Xaositect]

А с какой целью читаете? Я бы посоветовал взять что-нибудь более современное. У Бурбаки своя терминология, которая особого распространения не получила (напр. эгалитарная теория - теория с равенством, субстантивный знак - функциональный символ).
Схема аксиом действительно нужна только для того, чтобы доказать $(\forall x) x = x$. Это чисто технический момент, можно просто принять $x = x$ за аксиому.

Сейчас редко встречаются изложения с оператором выбора ($\tau$ у Бурбаки), а теорию с равенством определяют аксиомами $(\forall x)x = x$ и $x = y \to F(x,x) \to F(x,y)$

-- Сб май 24, 2014 22:46:55 --

absque в сообщении #867354 писал(а):

1. Возможно, они хотели полностью построить эгалитарную теорию (со всеми свойствами равенства) до того, как вводить теорию множеств со знаком принадлежности. Имея в виду, что на этой основе можно построить и какую-нибудь другую эгалитарную теорию, помимо теории множеств.

Скорее всего, для этого.

[absque]

Xaositect в сообщении #867379 писал(а):

А с какой целью читаете?

Я не математик, так что скорее для собственного удовольствия. Бурбаки мне очень понравились - всё строго доказывается, причём довольно изящно. Раньше я подобного не встречал. Ну и кроме того, хочется разобраться в основах, чтобы потом более осмысленно изучать математический анализ и топологию.

Xaositect в сообщении #867379 писал(а):

Я бы посоветовал взять что-нибудь более современное.

Думаю, я почитаю Кунена, но сначала всё же дочитаю Бурбаки.

Xaositect в сообщении #867379 писал(а):

а теорию с равенством определяют аксиомами и $x = y \to F(x,x) \to F(x,y)$

Я, кстати, заметил, что схему $T = U \Rightarrow (R$⌇$T$⌇$\Leftrightarrow R$⌇$U$⌇$)$ достаточно представить в виде $T = U \Rightarrow (R$⌇$T$⌇$\Rightarrow R$⌇$U$⌇$)$

[kp9r4d]

(Оффтоп)

absque
Есть мнение (не только моё), что подобное разбирательство в основах по Бурбакам для дальнейшего изучения матана и тополя будет, скорее, вредным.

[Sonic86]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #867416 писал(а):

Есть мнение (не только моё), что подобное разбирательство в основах по Бурбакам для дальнейшего изучения матана и тополя будет, скорее, вредным.

+1

[absque]

Глава II, $\S$ 2, упр. 2
a) Показать, что соотношение $\left \{ \left \{ x \right \},\left \{ x,y \right \} \right \}=\left \{ \left \{ x' \right \},\left \{ x',y' \right \} \right \}$ эквивалентно ($x = x' $ и $y = y'$).
б) Пусть $\textit{T}_{0}$ - теория множеств, а $\textit{T}_{1}$ - теория, имеющая те же схемы и явные аксиомы, что и $\textit{T}_{0}$, за исключением аксиомы A3 - $(\forall x)(\forall x')(\forall y)(\forall y')((x,y)=(x',y') \Rightarrow (x=x' \wedge y=y'))$. Показать, что есть $\textit{T}_{1}$ непротиворечива, то и $\textit{T}_{0}$ непротиворечива [использовать а)].

а) решил, а вот с б) проблема. Более того, я мог бы привести пример такой теории $\textit{T}_{0'}$ с аксиомой A3, которая была бы противоречива, а теория $\textit{T}_{1'}$, имеющая те же схемы и явные аксиомы, что и $\textit{T}_{0'}$, за исключением аксиомы A3, - непротиворечива.

[Xaositect]

В условии под "$T_0$ - теория множеств" имеется в виду "$T_0$ - теория множеств, рассматриваемая в этой книге". Для решения достаточно определить терм $(x, y)$ и привести доказательство A3 из других аксиом.

[absque]

Xaositect в сообщении #867526 писал(а):

В условии под "$T_0$ - теория множеств" имеется в виду "$T_0$ - теория множеств, рассматриваемая в этой книге". Для решения достаточно определить терм $(x, y)$ и привести доказательство A3 из других аксиом.

Вы имеете в виду представить пару $(x,y)$ в виде множества $\left \{ \left \{ x \right \},\left \{ x,y \right \} \right \}$?
В таком случае нам достаточно доказать, что если R есть теорема теории $\textit{T}_{0}$, то в таком случае R' (R, где каждая пара с субстантивным знаком заменена соответствующим множеством) есть теорема теории $\textit{T}_{1}$. Тогда, если $\textit{T}_{0}$ противоречива, то она имеет теорему теорема $(\neg A \wedge A)$, а значит $\textit{T}_{1}$ имеет теорему $(\neg A' \wedge A')$ и тоже противоречива.

Меня смутило то обстоятельство, что для строгого доказательства этого необходимо помимо A3 проанализировать каждую схему и явную аксиому теории множеств - в том числе и те, которые ещё не были рассмотрены до главы, в которой дано это упражнение.
Ведь если мы изначально решаем это упражнение с предпосылкой, что теория множеств непротиворечива, то "Показать, что если $\textit{T}_{1}$ непротиворечива, то и $\textit{T}_{0}$ непротиворечива" решается элементарно через $A \Rightarrow (B\Rightarrow A)$.

Если же нам нужно доказать, что из противоречивости $\textit{T}_{0}$ следует противоречивость $\textit{T}_{1}$, то вполне могло оказаться, что помимо аксиомы A3 в $\textit{T}_{0}$ есть какая-нибудь явная аксиома A3', из которой следует $\neg$A3. И, в отличие от аксиомы A3, если заменить пары с субстантивным знаком на множество $\left \{ \left \{ x \right \},\left \{ x,y \right \} \right \}$, то аксиома A3' не превратится в теорему.
В самом грубом случае эта A3' и могла бы представлять собой $\neg$A3, делая теорию $\textit{T}_{0}$ очевидно противоречивой, но из этого не следовала бы противоречивость $\textit{T}_{1}$.

[Xaositect]

Да, это все верно. Задание не очень аккуратно сформулировано.

[absque]

Дочитал вторую главу и понял, что поторопился с выводами. В Главе II, $\S$ 6, п. 9 Бурбаки вводят понятие класса объектов, эквивалентных $x$ как $\tau_{y}(R)$, где $R$ есть "$y$ эквивалентно $x$". Не уверен, что в этом есть насущная необходимость, но факт в том, что Бурбаки наделяют $\tau_{x}(R)$ интуитивным смыслом отнюдь не только в случае, когда $x$ функционально по $R$.

Есть два упражнения, с которыми я не могу справиться.

Глава II, $\S$ 6, упр. 11
"...для трех попарно различных конституэнт $A$, $B$, $C$ по меньшей мере одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто".
Однако я могу привести контрпример. В простейшем случае, когда в $E$ есть 4 элемента ($a$, $b$, $c$, $d$), и соотношение $R$ верно только для трёх пар ($a$ и $b$, $a$ и $c$, $a$ и $d$), у нас есть 3 попарно различные конституэнты, для которых все три пересечения не пусты".

В другом упражнении - Глава II, $\S$ 5, упр. 3 - я также могу привести контрпример.

[Xaositect]

absque в сообщении #885818 писал(а):

Глава II, $\S$ 6, упр. 11
"...для трех попарно различных конституэнт $A$, $B$, $C$ по меньшей мере одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто".
Однако я могу привести контрпример. В простейшем случае, когда в $E$ есть 4 элемента ($a$, $b$, $c$, $d$), и соотношение $R$ верно только для трёх пар ($a$ и $b$, $a$ и $c$, $a$ и $d$), у нас есть 3 попарно различные конституэнты, для которых все три пересечения не пусты".

Верно. В английском издании тоже ошибка, а вот во французском написано "одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто или эти три множества совпадают".

absque в сообщении #885818 писал(а):

В другом упражнении - Глава II, $\S$ 5, упр. 3 - я также могу привести контрпример.

Там надо читать "$\mathfrak{F}_k$ - множество всех подмножеств $(1,n)$, содержащих $k$ элементов."

[absque]

Xaositect в сообщении #885905 писал(а):

В английском издании тоже ошибка, а вот во французском написано "одно из множеств $A\cap B$, $B\cap C$, $C\cap A$ пусто или эти три множества совпадают".

Спасибо! Тогда всё ясно!

Xaositect в сообщении #885905 писал(а):

Там надо читать "$\mathfrak{F}_k$ - множество всех подмножеств $(1,n)$, содержащих $k$ элементов."

Предполагал всё, что угодно, а такой вариант в голову не приходил. А ведь даже в английский перевод заглядывал, но не обратил внимание, что там написано "which have", а не "which has".