числа вида a^b+b

[patzer2097]

Существует ли $100$ подряд идущих чисел вида $a^b+b$, где $a>1$ и $b>1$ целые?

[Ktina]

Это совсем легко. Первое число - квадрат плюс два, второе - куб плюс три и т. д.
Пусть $N=2^{1000!}$, тогда $N+2, \quad N+3, \quad \dots ,\quad N+101$ суть искомые числа.

-- 24.05.2014, 02:01 --

Теперь попробуйте доказать, что не существует бесконечной последовательности таких чисел, идущих подряд.

-- 24.05.2014, 02:01 --

Хотя, тоже легко.

[Ktina]

Ktina в сообщении #867184 писал(а):

-- 24.05.2014, 02:01 --

Теперь попробуйте доказать, что не существует бесконечной последовательности таких чисел, идущих подряд.

-- 24.05.2014, 02:01 --

Хотя, тоже легко.

Видимо, показалось
Или просто туплю...

[ИСН]

В таких задачах отсутствие бесконечной всегда слишком легко, потому что её наличие - слишком сильное условие. Это значит, с какого-то места все числа были бы такими! А так нельзя, хотя бы потому, что их асимптотически мало (множество нулевой плотности, или как там это называется). Смотрите, от 1 до N сколько могло быть чисел вида $a^2+2$? Ну уж всяко не больше $\sqrt N$. А $a^3+3$? Ещё меньше. И так далее. А всех таких вместе? Ну в общем понятно, что - меньшинство.

-- менее минуты назад --

Скорее уж первая часть меня удивляет, в свете гипотезы, что непервые степени все в целом расположены редко, т.е. подряд не ходят (кроме 8,9), и через один, и вообще все малые интервалы между ними если и бывают, то только поначалу, а потом перестают бывать.

-- менее минуты назад --

А что удивляться, собственно: целый куст таких чисел растёт на одной степени. Подумаешь, big deal.

[patzer2097]

ИСН в сообщении #867262 писал(а):

Смотрите, от 1 до N сколько могло быть чисел вида $a^2+2$? Ну уж всяко не больше $\sqrt N$. А $a^3+3$? Ещё меньше. И так далее.

да, то есть чисел от $1$ до $N$ вида $a^k+k$ не больше $\sqrt{N}$ при $k<\log_2N$ и не больше $0$ при $k\geqslant\log_2N$.

ИСН в сообщении #867262 писал(а):

А всех таких вместе? Ну в общем понятно, что - меньшинство.

А всех вместе - не больше $\sqrt{N}\log_2N=o(N)$, то есть правда меньшинство