Линейные дифференциальные уравнения.

[Alexey1]

Здравствуйте!
Дана система из n линейных однородных дифференциальных уравнений x'(t)=A(t)x(t). Известно, что фундаментальная матрица решений состоит из n линейно независимых решений системы. Если каждый столбец ФМС есть решение, то какже тогда единственность решения проходящего через заданную точку? Получается что каждое из n решений может проходить через заданную точку.
С Уважением,
Алексей.

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

Если каждый столбец ФМС есть решение, то какже тогда единственность решения проходящего через заданную точку? Получается что каждое из n решений может проходить через заданную точку.
С Уважением,

Так здесь единственность понимается по-другому. Вы же рассматриваете целиком вектор-функцию, вот она-то и единственна.

[Alexey1]

Нет ну столбцами ФМ являются вектор-функции это очевидно. Но если я задаю начальное условие, то получается что каждый столбец является решением. То есть фундаментальная матрица это матрица столбцами которой являются решения системы, и которая имеет обратную матрицу. Не противоречие ли это, что решений несколько, и решение единственно.

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

Но если я задаю начальное условие

А как задаётся начальное условие для такой системы? Просьба использовать координатную запись.

[Alexey1]

А что значит координатная запись?
Например, меня интересует, одно решение системы. Мне не надо находить и строить целую матрицу решений.
Я нахожу данное решение и затем для него нахожу коэффициенты, такие чтобы оно удовлетворяло начальным условиям.
Например, система из 2 уравнений.
dx1/dt=x1+x2
dx2/dt=3x1-x2
имеет решение (exp(2t), exp(2t)). Если хочу чтобы данное решение равнялось a в точке b умножаю вектор на a/exp(2*b).

[Brukvalub]

Начальное условие для Вашей системы задается, например, так:
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x_1 (1) = 1} \\ {x_2 (1) = 1} \\ \end{array}} Здесь существенно именно то, что только одна вектор-функция, удовлетворяющая системе, проходит при t=1 через точку (1 ; 1).

[Alexey1]

То есть Вы хотите сказать, что если у меня задана начальная точка, то не все столбцы матрицы решений подходят под эту точку. Но единственность решения гарантирует, что существует такой столбец, который проходит через данную точку.

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

То есть Вы хотите сказать, что если у меня задана начальная точка, то не все столбцы матрицы решений подходят под эту точку.

О каком множестве столбцов решений Вы всё время твердите? Вектор-функция решения образует ровно один столбец, а не несколько. Нет никакой матрицы решений, а есть вектор-столбец, или, если хотите, матрица размера (n x 1).

[Alexey1]

К той системе уравнений которую я написал, существует ещё одно решение, например, (exp(-2t), -3exp(-2t)). Матрица столбцами которой являются решения системы и которая имеет обратную матрицу называется фундаментальной матрицей. Какое решение Вы выберете?

[Someone]

Alexey1 писал(а):

К той системе уравнений которую я написал, существует ещё одно решение, например, (exp(-2t), -3exp(-2t)). Матрица столбцами которой являются решения системы и которая имеет обратную матрицу называется фундаментальной матрицей. Какое решение Вы выберете?

Никакое. Как правило, решения, записанные в столбцах фундаментальной матрицы, не удовлетворяют "нужным" начальным условиям. Искомое решение является линейной комбинацией столбцов фундаментальной матрицы. Единственность решения означает, что коэффициенты этой линейной комбинации однозначно определяются начальными условиями.

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

Матрица столбцами которой являются решения системы и которая имеет обратную матрицу называется фундаментальной матрицей.

О Боги! Наконец-то Вы написали, какую матрицу Вы здесь все время упоминаете! Так общее решение системы все равно не является этой матрицей, а образуется как линейная комбинация её столбцов, то есть решение - ЭТО ВЕКТОР-СТОЛБЕЦ, а не матрица!!!Это надо суметь так запутать простое дело...

[Alexey1]

Я в самом первом вопросе написал какую матрицу я имею ввиду.
Хорошо что всё поняли. Так почему эти разные вещи называются решением системы? Матрица это решение системы, вектор столбец это решение системы.
То есть, имеется вектор столбец который просто удовлетворяет системе уравнений. Для того, чтобы найти частное решение системы (проходящее через заданную точку) необходимо составить матрицу и линейно независимых решений-столбцов. [/quote]

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

Я в самом первом вопросе написал какую матрицу я имею ввиду.

Согласен, в моем непонимании немало моей вины Итак: Есть матрица, столбцы которой образуют базис в пространстве решений системы. Все эти столбцы в каждой точке не могут попарно совпадать. Произвольные их линейные комбинации составляют пространство всех решений системы. Через каждую точку фазового пространства в данный момент времени проходит только одна линейная комбинация базисных решений, поэтому единственность не нарушается.