Задача на экстремум

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:

На эллипсе $x^2+4y^2=4$ даны две точки $A \left ( -\sqrt{3};\frac{1}{2} \right )$ и $B \left ( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$. На этом же эллипсе найти третью точку $C$ чтобы треугольник $ABC$ имел наибольшую площадь.

Есть формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин. Две вершины даны, третью надо найти.

Понятно, что задача сводится к поиску наибольшего значения функции на отрезке. Единственное, что не могу понять:

$$x^2+4y^2=4 \Rightarrow y= \pm \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$$

Получается два выражения для $y$. Подскажите, пожалуйста, как понять, какую часть эллипса брать?

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #866690 писал(а):

Получается два выражения для $y$.

Что Вас удивляет? Вы же понимаете, что нижнюю и верхнюю половинки нельзя описать единой формулой типа $y=f(x)$. Их, таких, обязано быть две.

Limit79 в сообщении #866690 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как понять, какую часть эллипса брать?

Неча тут подсказывать --- условие предполагает весь эллипс.

-- 22 май 2014, 23:30:32 --

Может, у Вас получится сформулировать другие вопросы, чтобы и ответы были поинтереснее?

[Limit79]

Алексей К.
То есть нужно исследовать обе половины, и из двух значений выбрать наибольшее?

[Алексей К.]

Ответ на тот незаданный вопрос типа такой:

$$x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t.$$

А то я и сам, оказывается, не могу его сформулировать...

-- 22 май 2014, 23:37:29 --

Ну, как бы "используем параметрическое уравнение эллипса" $(a=2,\quad b=1).$

-- 22 май 2014, 23:46:06 --

Тем самым мы исследуем весь эллипс, без "половинок", без радикалов, непрерывненько по $t\in(-\pi,\pi].$

-- 22 май 2014, 23:47:40 --

Limit79,

я чота явно устал, мудрю лишнего, --- хоть понятно в итоге выразился?

[Limit79]

Алексей К.
Спасибо!

Формула для площади треугольника через координаты его вершин:

$$S = \frac{1}{2} \left ((x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3}) - (x_{2}-x_{3})(y_{1}-y_{3}) \right )$$

Подставляем координаты вершин:

$$S = \frac{1}{2} \left ( \left (-\sqrt{3}-2 \cos(t) \right ) \left (\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin(t) \right ) - \left (1-2 \cos(t) \right ) \left (\frac{1}{2}-\sin(t) \right ) \right )$$

Упростим:

$$S = \frac{1}{2} \left ( (1+\sqrt{3}) \sin(t) - (\sqrt{3}-1) \cos(t) - 2 \right )$$

Ищем максимальное значение функции

$$S(t) = \frac{1}{2} \left ( (1+\sqrt{3}) \sin(t) - (\sqrt{3}-1) \cos(t) - 2 \right )$$

при

$$t \in [0;2\pi)$$

Оно равно $\sqrt{2}-1$ при $t = \frac{7 \pi}{12}$.

Но, тогда получается такая картина:

Видно, что площадь-то не наибольшая...

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

-- 23.05.2014, 00:01 --

Алексей К. в сообщении #866697 писал(а):

я чота явно устал, мудрю лишнего, --- хоть понятно в итоге выразился?

Спасибо! все понятно, кроме одного: почему $t \in (-\pi;\pi]$ ?

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #866710 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

А что Вы думаете (знаете) о минимуме Вашей функции $S(t)$?
Может, Вы думаете, что это 0, когда треугольник в отрезок вырождается?
Не посмотреть ли на этот минимум подробнее, на всякий случай?

[Someone]

Limit79 в сообщении #866710 писал(а):

все понятно, кроме одного: почему $t \in (-\pi;\pi]$ ?

Не нравится $(-\pi,\pi]$ — возьмите $[0,2\pi)$. Или вообще $[\pi e,\pi(2+e))$.

[Limit79]

Алексей К.
Если искать минимум этой функции, то получается $S \left ( \frac{19 \pi}{12} \right ) = -\sqrt{2} - 1$, при таком $t$ по картинке все больше похоже на правду, но площадь получается отрицательная...

Видимо, нужно искать максимум модуля $S(t)$, но как это обосновать?

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #866690 писал(а):

Единственное, что не могу понять:

Алексей К. в сообщении #866713 писал(а):

Спасибо! все понятно, кроме одного...

Надо же, Вы каждый раз не понимаете что-то 1 (одно, единственное).

Алексей К. в сообщении #866713 писал(а):

$t \in (-\pi;\pi]$ ?

Ну дык при дальнейшем увеличении $t$ мы пойдём по тому же эллипсу по второму кругу, ничего нового не наблюдём. Периодичность называется. На указанном промежутке ВЕСЬ эллипс обходтся ровно ОДИН раз.

[Limit79]

Алексей К.
Кстати, если брать $t \in (-\pi;\pi]$, то $\max S(t) = S \left ( \frac{7 \pi}{12} \right ) = \sqrt{2} - 1$

-- 23.05.2014, 00:15 --

Но максимальная площадь, все таки $S = \sqrt{2}+1$

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #866717 писал(а):

но как это обосновать?

Площадь бывает отрицательной $\left(\text{например,~}S=\int_0^1(-x)\cdot dx\right)$. Т.н. "ориентированная площадь". Там, где Вам выдавали эту формулку для площади тр-ка, обязаны были это прокомментировать.

[Someone]

Limit79 в сообщении #866717 писал(а):

площадь получается отрицательная

Площадь отрицательной не бывает. По определению. Если получается отрицательная, то, значит, формула написана неправильно.

Limit79 в сообщении #866710 писал(а):

Формула для площади треугольника через координаты его вершин:

$$S = \frac{1}{2} \left ((x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3}) - (x_{2}-x_{3})(y_{1}-y_{3}) \right )$$

Вообще-то,

$$S=\frac 12\lvert\begin{vmatrix}x_1-x_3&x_2-x_3\\ y_1-y_3&y_2-y_3\end{vmatrix}\rvert.$$

Чтобы избавиться от модуля, можно рассматривать $S^2$. Минимумы будут равны $0$, они не нужны.

Алексей К. в сообщении #866726 писал(а):

Т.н. "ориентированная площадь".

Я думаю, не надо его путать "ориентированной площадью".

[Limit79]

Алексей К. в сообщении #866726 писал(а):

Там, где Вам выдавали эту формулку для площади тр-ка, обязаны были это прокомментировать.

Такого там не было, к сожалению...

Все таки мне нужно искать максимум $|S(t)|$?

[Алексей К.]

C учётом того, что $\text{настоящая площадь} = |S(t)|$, Вам нужны и максимум, и минимум $S(t)$.

[Limit79]

Вру

Цитата:

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.