2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 22:21 
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:

На эллипсе $x^2+4y^2=4$ даны две точки $A \left ( -\sqrt{3};\frac{1}{2} \right )$ и $B \left ( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$. На этом же эллипсе найти третью точку $C$ чтобы треугольник $ABC$ имел наибольшую площадь.

Есть формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин. Две вершины даны, третью надо найти.

Понятно, что задача сводится к поиску наибольшего значения функции на отрезке. Единственное, что не могу понять: $$x^2+4y^2=4 \Rightarrow y= \pm \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$$

Получается два выражения для $y$. Подскажите, пожалуйста, как понять, какую часть эллипса брать?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 22:29 
Limit79 в сообщении #866690 писал(а):
Получается два выражения для $y$.
Что Вас удивляет? Вы же понимаете, что нижнюю и верхнюю половинки нельзя описать единой формулой типа $y=f(x)$. Их, таких, обязано быть две.

Limit79 в сообщении #866690 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как понять, какую часть эллипса брать?
Неча тут подсказывать --- условие предполагает весь эллипс.

-- 22 май 2014, 23:30:32 --

Может, у Вас получится сформулировать другие вопросы, чтобы и ответы были поинтереснее?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 22:32 
Алексей К.
То есть нужно исследовать обе половины, и из двух значений выбрать наибольшее?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 22:34 
Ответ на тот незаданный вопрос типа такой:
$$x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t.$$А то я и сам, оказывается, не могу его сформулировать...

-- 22 май 2014, 23:37:29 --

Ну, как бы "используем параметрическое уравнение эллипса" $(a=2,\quad b=1).$

-- 22 май 2014, 23:46:06 --

Тем самым мы исследуем весь эллипс, без "половинок", без радикалов, непрерывненько по $t\in(-\pi,\pi].$

-- 22 май 2014, 23:47:40 --

Limit79,

я чота явно устал, мудрю лишнего, --- хоть понятно в итоге выразился?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 22:59 
Алексей К.
Спасибо!

Формула для площади треугольника через координаты его вершин: $$S = \frac{1}{2} \left ((x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3})  - (x_{2}-x_{3})(y_{1}-y_{3}) \right )$$

Подставляем координаты вершин: $$S = \frac{1}{2} \left ( \left  (-\sqrt{3}-2 \cos(t) \right ) \left (\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin(t) \right )  - \left  (1-2 \cos(t) \right ) \left  (\frac{1}{2}-\sin(t) \right ) \right )$$

Упростим: $$S = \frac{1}{2} \left ( (1+\sqrt{3}) \sin(t) - (\sqrt{3}-1) \cos(t) - 2 \right )$$

Ищем максимальное значение функции $$S(t) = \frac{1}{2} \left ( (1+\sqrt{3}) \sin(t) - (\sqrt{3}-1) \cos(t) - 2 \right )$$ при $$t \in [0;2\pi)$$

Оно равно $\sqrt{2}-1$ при $t = \frac{7 \pi}{12}$.

Но, тогда получается такая картина:
Изображение


Видно, что площадь-то не наибольшая...

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так :|

-- 23.05.2014, 00:01 --

Алексей К. в сообщении #866697 писал(а):
я чота явно устал, мудрю лишнего, --- хоть понятно в итоге выразился?

Спасибо! все понятно, кроме одного: почему $t \in (-\pi;\pi]$ ?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:04 
Limit79 в сообщении #866710 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так :|

А что Вы думаете (знаете) о минимуме Вашей функции $S(t)$?
Может, Вы думаете, что это 0, когда треугольник в отрезок вырождается?
Не посмотреть ли на этот минимум подробнее, на всякий случай?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:09 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #866710 писал(а):
все понятно, кроме одного: почему $t \in (-\pi;\pi]$ ?
Не нравится $(-\pi,\pi]$ — возьмите $[0,2\pi)$. Или вообще $[\pi e,\pi(2+e))$.

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:09 
Алексей К.
Если искать минимум этой функции, то получается $S \left ( \frac{19 \pi}{12} \right ) = -\sqrt{2} - 1$, при таком $t$ по картинке все больше похоже на правду, но площадь получается отрицательная...

Видимо, нужно искать максимум модуля $S(t)$, но как это обосновать?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:10 
Limit79 в сообщении #866690 писал(а):
Единственное, что не могу понять:

Алексей К. в сообщении #866713 писал(а):
Спасибо! все понятно, кроме одного...

Надо же, Вы каждый раз не понимаете что-то 1 (одно, единственное). :D
Алексей К. в сообщении #866713 писал(а):
$t \in (-\pi;\pi]$ ?

Ну дык при дальнейшем увеличении $t$ мы пойдём по тому же эллипсу по второму кругу, ничего нового не наблюдём. Периодичность называется. На указанном промежутке ВЕСЬ эллипс обходтся ровно ОДИН раз.

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:14 
Алексей К.
Кстати, если брать $t \in (-\pi;\pi]$, то $\max S(t) = S \left ( \frac{7 \pi}{12} \right ) = \sqrt{2} - 1$

-- 23.05.2014, 00:15 --

Но максимальная площадь, все таки $S = \sqrt{2}+1$

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:17 
Limit79 в сообщении #866717 писал(а):
но как это обосновать?
Площадь бывает отрицательной $\left(\text{например,~}S=\int_0^1(-x)\cdot dx\right)$. Т.н. "ориентированная площадь". Там, где Вам выдавали эту формулку для площади тр-ка, обязаны были это прокомментировать.

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:20 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #866717 писал(а):
площадь получается отрицательная
Площадь отрицательной не бывает. По определению. Если получается отрицательная, то, значит, формула написана неправильно.
Limit79 в сообщении #866710 писал(а):
Формула для площади треугольника через координаты его вершин: $$S = \frac{1}{2} \left ((x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3})  - (x_{2}-x_{3})(y_{1}-y_{3}) \right )$$
Вообще-то, $$S=\frac 12\lvert\begin{vmatrix}x_1-x_3&x_2-x_3\\ y_1-y_3&y_2-y_3\end{vmatrix}\rvert.$$ Чтобы избавиться от модуля, можно рассматривать $S^2$. Минимумы будут равны $0$, они не нужны.

Алексей К. в сообщении #866726 писал(а):
Т.н. "ориентированная площадь".
Я думаю, не надо его путать "ориентированной площадью".

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:21 
Алексей К. в сообщении #866726 писал(а):
Там, где Вам выдавали эту формулку для площади тр-ка, обязаны были это прокомментировать.

Такого там не было, к сожалению...

Все таки мне нужно искать максимум $|S(t)|$?

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:23 
C учётом того, что $\text{настоящая площадь} = |S(t)|$, Вам нужны и максимум, и минимум $S(t)$.

 
 
 
 Re: Задача на экстремум
Сообщение22.05.2014, 23:23 
Вру :|

Цитата:
Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group