Вычислить интеграл.

[hedgehogues]

Нужно посчитать интеграл.

$$ \int^{+\infty}_0 \frac{x^{a-1}}{1+x^6}dx $$

Посчитал через $B$-функцию. Но, к сожалению, после замены $x^6 = t$ получил печальку -- в ответе вылез комплексный корень, так как при подстановке обратной функции под дифференциал

$$x=\begin{cases} t^ \frac{1}{6},&\text{если $x \geqslant 0$;}\\ -t^ \frac{1}{6},&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

Далее интеграл распадается на два, в одном из которых в итоге появляется комплексный корень.
Собственно говоря, во втором случае трабла, когда $x < 0$.

Также пробовал посчитать по общей формуле, но она слишком громоздкая, а при дифференцировании не дает верного ответа почему-то =( .

[Brukvalub]

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

...

$$x=\begin{cases} t^ \frac{1}{6},&\text{если $x \geqslant 0$;}\\ -t^ \frac{1}{6},&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

...

Дичь какая-то Как здесь может быть $x<0$ ?:shock:

[provincialka]

Вы ведь хотите к $B$-функции свести? Там какие пределы интегрирования?

[hedgehogues]

Brukvalub в сообщении #866595 писал(а):

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

...

$$x=\begin{cases} t^ \frac{1}{6},&\text{если $x \geqslant 0$;}\\ -t^ \frac{1}{6},&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

...

Дичь какая-то Как здесь может быть $x<0$ ?:shock:

Почему тут не может быть $x < 0$?

-- 22.05.2014, 22:24 --

provincialka в сообщении #866601 писал(а):

Вы ведь хотите к $B$-функции свести? Там какие пределы интегрирования?

Какие пределы интегрирования у $B-$функции получаются?
Такие же от $0$ до $+\infty$.

[ewert]

hedgehogues в сообщении #866640 писал(а):

Почему тут не может быть $x < 0$?

Допустим, мы экспортируем кенгурятину в Австралию. Почему бы и нет?...

hedgehogues в сообщении #866640 писал(а):

Какие пределы интегрирования у $B-$функции получаются?

Какие захотите. Забудьте про бету -- временно; попытайтесь пока что угадать, какая алгебраическая замена способна свести бесконечный промежуток интегрирования к конечному.

[hedgehogues]

$1/x = t$

[ИСН]

Интересная мысль. И какой же получится промежуток?

[ewert]

hedgehogues в сообщении #866659 писал(а):

$1/x = t$

Не поможет. В смысле ровно ничего по существу не изменит. Гадайте дальше (хотя направление гадания и правильное).

[hedgehogues]

ewert в сообщении #866664 писал(а):

hedgehogues в сообщении #866659 писал(а):

$1/x = t$

Не поможет. В смысле ровно ничего по существу не изменит. Гадайте дальше (хотя направление гадания и правильное).

А что это даст?
Окей, сведу я... и дальше что?
Уже столько всего напробовал.
Такое вообще возможно?
Я нашел формулу в одном сборнике... Но... она трехэтажная... это смущает.

И чем плоха бета-функция?

[ИСН]

Как у Вас получилось свести его к бета-функции? Вы точно по дороге ничего не сломали и не потеряли?

-- менее минуты назад --

(так-то она ничем не плоха. Более того, только она тут и возможна в качестве ответа, наверное...)

[hedgehogues]

ИСН в сообщении #866668 писал(а):

Как у Вас получилось свести его к бета-функции? Вы точно по дороге ничего не сломали и не потеряли?

Да нет, ничего не потерял, а что не так-то?

Решение могу скинуть, для $x \geqslant 0$,

[ИСН]

Всё так. А что Вам не нравится в ответе?

[provincialka]

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

Какие пределы интегрирования у $B-$функции получаются?
Такие же от $0$ до $+\infty$.

Вы ее с гамма-функцией не путаете?

(Оффтоп)

$t=\frac{1}{1+x^6}$

[hedgehogues]

ИСН в сообщении #866674 писал(а):

Всё так. А что Вам не нравится в ответе?

то, что при $x < 0 $, мы получаем комплексные значения интеграла.
Препод сказал избавиться. Как -- не представляю!

-- 22.05.2014, 23:10 --

provincialka в сообщении #866679 писал(а):

hedgehogues в сообщении #866590 писал(а):

Какие пределы интегрирования у $B-$функции получаются?
Такие же от $0$ до $+\infty$.

Вы ее с гамма-функцией не путаете?

(Оффтоп)

$t=\frac{1}{1+x^6}$

Нет, вроде бы не путаю.

[provincialka]

Ну и как же выглядит определение бета-функции?