Максимум модуля многочлена на круге

[ellipse]

Дан многочлен $f(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$
Нужно найти $M_f(r)=\max_{\varphi}|f(re^{i\varphi })|$

Если записать $a_k=|a_k|e^{i\varphi_k }$, $z=re^{i\varphi }$, тогда
$\left |\sum_{k=0}^n a_kz^k \right |=\left |\sum_{k=0}^n |a_k|r^ke^{(\varphi_k+ k\varphi)} \right |$

Что дальше можно сделать?

Можно, конечно, оценку сделать
$\left |\sum_{k=0}^n |a_k|r^ke^{(\varphi_k+ k\varphi)} \right |\leq \sum_{k=0}^n |a_k|r^k$

[mishafromusa]

Можно сразу положить $r=1$.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #865865 писал(а):

Дан многочлен $f(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$
Нужно найти $M_f(r)=\max_{\varphi}|f(re^{i\varphi })|$

....

А откуда взялась уверенность, что этот максимум можно найти?

[ellipse]

Brukvalub, это упражнение в методичке по свойствам целых функций. Причем первое в списке, значит должно быть не самым сложным. Например, следующее за ним найти такой максимум для целой функции $\sin z$, с чем я справился.

Может задача облегчится, если взять $a_k$ вещественные?

[provincialka]

Для линейного многочлена оценка достигается. Может, надо разложить на линейные множители? Правда, каждый из них будет иметь максимум модуля при разных $\varphi$

[Brukvalub]

provincialka в сообщении #865997 писал(а):

Для линейного многочлена оценка достигается. Может, надо разложить на линейные множители?...

Не родился еще тот, кто может для каждого многочлена выписать его корни через коэффициенты этого многочлена.

[provincialka]

Спасибо, кэп. В буквочках надо, в буквочках. Впрочем, не видно, как это поможет...

[Brukvalub]

provincialka в сообщении #866192 писал(а):

Спасибо, кэп. В буквочках надо, в буквочках. Впрочем, не видно, как это поможет...

Не вижу смысла обозначать абстрактными буквочками то, что невозможно потом выразить через заданные в условии величины.

[provincialka]

В данном случае - согласна, не вижу, чтобы было можно. Но если бы все сомножители достигали оценки при одном и том же аргументе, то и вся функция ее бы достигала...

Впрочем, это так, абстрактные мечтания. Уже полином второй степени не показывает желания вести себя хорошо. Даже в случае вещественных коэффициентов.

[ellipse]

Там перед этим заданием, возможно, наводящие упражнения.

1. Любую целую функцию $f(z)$ можно представить в виде $f(z)=e^{g(z)}$, где $g(z)$ - целая функция.

2. Если $f(z)=e^{az^n}$, то $M_f(r)=e^{|a|r^n}$

Может полином нужно представить в виде экспоненты от чего-то?

[provincialka]

Уж скорее наоборот, применить экспоненту к многочлену... Правда, при умножении функций их супремумы не перемножаются.
ellipse, вы уверены, что в задаче нужно именно найти максимум? А не оценить его, скажем? Впрочем, для этого достаточно простого неравенства треугольника.

[g______d]

ellipse в сообщении #866256 писал(а):

Любую целую функцию $f(z)$ можно представить в виде $f(z)=e^{g(z)}$, где $g(z)$ - целая функция.

А это неправда же.

[mishafromusa]

Brukvalub в сообщении #865919 писал(а):

А откуда взялась уверенность, что этот максимум можно найти?

Ну конечно не в виде явной формулы, а численно -- не так уж сложно, ведь это всего лишь тригонометрический многочлен.

[ellipse]

g______d в сообщении #866271 писал(а):

ellipse в сообщении #866256 писал(а):

Любую целую функцию $f(z)$ можно представить в виде $f(z)=e^{g(z)}$, где $g(z)$ - целая функция.

А это неправда же.

Там я не дописал $f(z)\ne 0$.
Тогда можно взять $g(z)=\ln f(z)$ (берется главная часть логарифма)?

[g______d]

ellipse в сообщении #866318 писал(а):

Там я не дописал $f(z)\ne 0$.

Да, если не равна нулю, то правда.