Классическое определение вероятности/комбинаторика

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Помогите, пожалуйста, с такой задачкой:

В записанном номере телефона стерлись три последние цифры. В предположении, что все комбинации стершихся цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:

$A = \{\text{стерлись различные цифры, отличные от 1,2,6}\}$

$B = \{\text{стерлись одинаковые цифры}\}$

$C = \{\text{две из стершихся цифр совпадают}\}$

На каждом из трех позиций может стоять любая цифра из $0,1...9$ (всего $10$ цифр), тогда, количество всевозможных исходов $n = 10^3 = 1000$.

Если стерлись различные цифры, отличные от $1,2,6$, то на каждой из трех позиций могла стоять одна из остальных $7$ цифр, причем все цифры различны, тогда, количество исходов, благоприятствующих событию $A$ - количество размещений из $7$ по $3$, то есть $m_{1} = A_{7}^{3} = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$.

Если стерлись одинаковые цифры, то тройка имеет вид $XXX$, количество возможных комбинаций - количество возможных цифр, то есть $m_{2} = 10$.


А вот с последним событием проблема... если две из трех стершихся цифр совпадают, то тройка имеет вид:
а) $0XX-...-9XX$ - таких комбинаций $10$
б) $X0X-...-X9X$ - таких комбинаций $10$
в) $XX0-...-XX9$ - таких комбинаций $10$

Всего - $30$, на месте $X$ может стоять любая цифра из десяти возможных, тогда $30 \cdot 10 =300$, но некоторые из этих комбинаций совпадают, и не пойму, как отсеять эти совпадающие комбинации.

Подскажите, пожалуйста, как быть с третьим событием... Спасибо!

[Cash]

$YXX$, $XYX$, $XXY$, где $X \ne Y$
+ по желанию добавить количество из второго события

[Limit79]

Cash
Я понимаю, что тройки будут такого вида, а вот как посчитать их количество...

Cash в сообщении #866053 писал(а):

+ по желанию добавить количество из второго события

В этом случае вроде подразумевается, что ровно две.

[Cash]

Вот $YX$ - их сколько? А тогда сколько $YXX$?

Limit79 в сообщении #866055 писал(а):

В этом случае вроде подразумевается, что ровно две.

Не уверен.

[Limit79]

Cash
$YX$ - на первом может стоять любая из $10$ цифр, на втором - любая из $9$, значит комбинаций $YX$ - $10 \cdot 9 = 90$, значит $YXX$ - $10 \cdot 9 \cdot 9 =810$, но черт возьми, много слишком , значит комбинаций $YXX$ - $10 \cdot 9 \cdot 1 = 90$, всего три вида троек, то есть $m_{3} = 90 \cdot 3 = 270$?

[Cash]

Вы правы - слишком много.
Давайте зайдем с другой стороны
Вот $XX$ - их сколько? А тогда сколько $YXX$?

[Limit79]

Cash
Исправил предыдущий пост

Значит комбинаций $YXX$ - $10 \cdot 9 \cdot 1 = 90$, всего три вида троек, то есть $m_{3} = 90 \cdot 3 = 270$?

[Cash]

Верно.
А насчет добавить по вкусу второе событие - подумайте. Я бы добавил.

[Limit79]

Cash
Есть ответ к этой задаче - $p(C) = 0.27$, значит они не добавляли...

Спасибо за помощь!

[Cash]

Можно еще так посчитать:
Всего = Все цифры различны + совпадают ровно 2 цифры + все цифры одинаковы