ММП для равномерного распределения

[Otta]

vlad_light в сообщении #865700 писал(а):

Вот я хочу чего-то подобного.

Не надо Вам ничего подобного. У Вас очень простая задача, а Вы микроскопом гвоздь заколачиваете.
На Вики тоже ссылаться не надо. То условие, которое Вы приводите - необходимое условие внутреннего локального экстремума дифференцируемой функции.

vlad_light в сообщении #865700 писал(а):

Я имел ввиду, можете ли Вы мне помочь с данным вопросом?

Я уже Вам ответила, Вы не заметили мой ответ? post865608.html#p865608

vlad_light в сообщении #865700 писал(а):

Но у меня есть условие, что максимум нужно искать только через приравнивание к нулю производной.

Вас жестоко обманули еще в раннем детстве, и Вы с тех пор так и пребываете в заблуждении.

[vlad_light]

Otta в сообщении #865734 писал(а):

Вас жестоко обманули еще в раннем детстве, и Вы с тех пор так и пребываете в заблуждении.

Вы имеете ввиду, что максимум функции правдоподобия можно искать другими методами (не только приравнивать производную к нулю)?

[Otta]

Разумеется. И не только ее максимум.
Мне в жизь не придет в голову дифференцировать модуль, чтобы найти, где его минимум. Как и дифференцировать монотонно возрастающую функцию, чтобы понять, где ее максимум на отрезке.

[vlad_light]

Otta в сообщении #865841 писал(а):

Разумеется.

Видимо, я ввёл вас в заблуждение, простите. Переформулирую свой вопрос:
у меня есть выборка из некоторого распределения, мне нужно оценить параметры этого распределения функцией следующего вида:

$$\sum \limits _i \frac {\partial f(X_i, \theta )}{\partial \theta } = 0$$

Если $f$ дифференцируема, то в качестве её можно взять логарифм функции правдоподобия. Но бывают случаи, когда $f$ недифференцируема. Если я рассмотрю производную в обобщённом смысле (или каком-то другом), можно ли будет подобрать такую функцию $f$, которая бы оценивала $\theta $?
Вот я предположил(!), что можно опять же взять логарифм функции правдоподобия. Будет ли при таком подходе оценка состоятельной? Если нет, то почему? Можно ли подправить функцию $f$ для достижения состоятельности?

[Otta]

vlad_light
Как-то у нас нет взаимопонимания. )) Я прекрасно вижу, что Вам нужно. И прекрасно знаю, что у Вас должно получиться. И что для этого надо делать. И что корень Ваших проблем - в незнании анализа.

Третий раз говорю: напишите функцию правдоподобия нормально, без индикаторов, может быть, Вам полегчает. Напишите, постройте график, полюбуйтесь на него, увидьте глазками точку максимума. Больше мне нечего Вам сказать.

[vlad_light]

Простите, но мне уже как-то неудобно ещё раз повторять.

Otta в сообщении #865867 писал(а):

Я прекрасно вижу, что Вам нужно. И прекрасно знаю, что у Вас должно получиться. И что для этого надо делать.

Честно говоря, я сомневаюсь, что Вы понимаете, что мне нужно.

Otta в сообщении #865867 писал(а):

И что корень Ваших проблем - в незнании анализа.

Тут спорить не буду.

Otta в сообщении #865867 писал(а):

Третий раз говорю:... увидьте глазками точку максимума.

Да не нужен мне этот максимум. Мне нужно оценить параметр при помощи приведенной мною формулы. То, что она в некоторых случаях совпадает с оценкой ММ -- лишь случайность, которая и вызвала недопонимание. Я же хочу: либо придумать какую-то аналогию данного метода на случай недифференцируемых функций, либо понять причину невозможности такого подхода.

[Otta]

vlad_light в сообщении #865868 писал(а):

Простите, но мне уже как-то неудобно ещё раз повторять.

Мне тем более.

vlad_light в сообщении #865868 писал(а):

Честно говоря, я сомневаюсь, что Вы понимаете, что мне нужно.

Ваше право.

vlad_light в сообщении #865868 писал(а):

Да не нужен мне этот максимум. Мне нужно оценить параметр при помощи приведенной мною формулы.

Точка максимума. Ну и как Вы собираетесь получать оценку максимального правдоподобия, если точка максимума Вам не нужна?
Честно говоря, я тоже начинаю сомневаться, что Вы знаете, что Вам нужно.

vlad_light в сообщении #865868 писал(а):

Я же хочу: либо придумать какую-то аналогию данного метода на случай недифференцируемых функций, либо понять причину невозможности такого подхода.

Давайте уточним состояние дел. Вы умеете получать оценку максимального правдоподобия стандартными средствами, не прибегая к созданию отдельной теории? Если да, то можно начинать строить теорию. Если нет, научитесь сперва строить оценку имеющимся в Вашем распоряжении набором средств.

[vlad_light]

Otta в сообщении #865869 писал(а):

Ну и как Вы собираетесь получать оценку максимального правдоподобия

Никак, она мне не нужна. Мне нужна любая состоятельная оценка вида $\sum f'_\theta (X_i ,\theta )$.

Otta в сообщении #865869 писал(а):

Вы умеете получать оценку максимального правдоподобия стандартными средствами, не прибегая к созданию отдельной теории?

Я не знаю, что значит "стандартными средствами", но давайте проверим. Вы знаете, как это можно проверить?

[Otta]

Дальше.
Логарифмирование функции правдоподобия, само собой, сохраняет расположение точек максимума, т.к. логарифм возрастает. Поэтому точки максимума что для самой функции правдоподобия, что для ее логарифма, одни и те же. Поэтому вопрос о состоятельности возникает на пустом месте. Оценка, получаемая после логарифмирования, состоятельна ровно в той же степени, что и до, поскольку это просто одна и та же статистика.

Аппарат обобщенных функций для поиска экстремумов не предназначен, поскольку обобщенная функция - это вовсе не функция в обычном понимании, у нее другая область определения и определена она сроду не на вещественной прямой. Поэтому воспринимать аргумент, скажем, дельта-функции, как вещественное число, в подавляющем большинстве случаев вредно, и решать уравнения вида $x+\delta(x)=0$ над $\mathbb R$ - тоже.

-- 21.05.2014, 05:05 --

vlad_light в сообщении #865871 писал(а):

Никак, она мне не нужна. Мне нужна любая состоятельная оценка вида $\sum f'_\theta (X_i ,\theta )$.

Правильно ли я понимаю, что стартовый пост к теме не имеет отношения?

[vlad_light]

Otta в сообщении #865872 писал(а):

Поэтому вопрос о состоятельности возникает на пустом месте

Тут я опять ввёл Вас в заблуждение В моей формуле $f$ -- это не тоже самое, что и в функции правдоподобия (не плотность). Здесь это вообще произвольная функция, которую нужно подобрать. Например, так:

$$\sum f_\theta '(X_i,\theta )=\sum (\log \rho(X_i, \theta ))_\theta '=(\sum \log \rho (X_i, \theta ))_\theta '=(\log\prod \rho (X_i, \theta ))_\theta '=\ell _\theta '(X_i,\theta )$$

Плюсы такого выбора $f$ в том, что состоятельность не нужно доказывать (уже доказали до нас). Минусы -- не всегда функция будет везде дифференцируемой. Мне нужно придумать такие $f$ на случай недифференцируемости (или доказать их несуществование). Отталкивался я от ММП только потому, что в гладком случае он работает (в данном конексте).

Otta в сообщении #865872 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что стартовый пост к теме не имеет отношения?

Скорее да, чем нет.

-- Ср май 21, 2014 01:32:25 --

(Оффтоп)

Прошу прощения, уже глаза не смотрят в монитор (2.30 на часах, а вставать рано). Если у Вас ещё останется терпение -- продолжим завтра. И спасибо за проявленный интерес к теме!

[Otta]

vlad_light в сообщении #865875 писал(а):

Скорее да, чем нет.

Мда. Уж.
Спокойной ночи.

[vlad_light]

Я вернулся, чтоб слушать Ваши советы. Если мой вопрос не понятен -- я попробую его ещё раз переформулировать. Если всё-таки понятен, я хотел бы услышать от Вас какие-нибудь советы, в каком направлении двигаться.