Теорема Абеля, упрощённый вариант ВТФ. Задача для ферматиков

[grisania]

shwedka в посте (http://www.mathforum.ru/forum/read/1/40095/58030/#58030) на форуме http://www.mathforum.ru привела ссылку на теорему о не существовании нетривиальных решений уравнения Ферма с одним из чисел простым. Эту теорему доказал в 1823 году Н.Х.Абель совершенно элементарными методами.
Ludvig Sylow og Sophus Lie: Oeuvres complètes de Niels Henrik Abel, 1881 стр.254, Теорема 1.
http://www.abelprize.no/nedlastning/ver ... 20_opt.pdf
Отметим, что вроде теорему Абеля для случая n=3 доказал Люборцев - всем известный на ветке «Великая теорема Ферма» форума dxdy.
Этот пост пишется ради просветительских целей неугомонных ферматиков. В отличие от brukvalub я считаю, что их лучше просвещать, ибо не ведают где у них закопана элементарная ферьмячья ошибка.

Теорема Абеля о решении уравнения Ферма с одним из чисел простым, когда n=3, т.е. рассмотрим уравнение

${x^3}+{y^3}={p^3}$

где ${p}$ – простое число. Тогда

$(x+y)({x^2}-xy+{y^2})={p^3}.$

Имеем 4 случая.
1-ый случай.

$\begin{cases}x+y=p^3 \\x^2-xy+y^2=1. \end{cases} $

Из тождества

$4(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2+3(x-y)^2 $ $(1)$

получаем $4=(p^3)^2+3(x-y)^2$, где $(p^3)>0$. Число 4 имеет три преставления в виде квадратичной формы $a^2 + 3b^2$, где $a>0$.
Это $4=2^2 + 3\cdot0^2, 4=1^2 + 3\cdot1^2, 4=1^2 + 3\cdot(-1)^2$.
Пусть $4=2^2 + 3\cdot0^2$, тогда $p^3=2$ – противоречие.
Пусть $4=1^2 + 3\cdot1^2$, тогда $p^3=1$ и $x-y=1$, а тогда $x+y=1$. Откуда $x=1$ и $y=0$. Следовательно, получаем тривиальные решения.
Пусть $4=1^2 + 3\cdot(-1)^2$, тогда $p=1$ и $x-y=-1$, а тогда $x+y=1$. Откуда $x=0$ и $y=1$. Следовательно, получаем тривиальные решения.
2-ой случай.

$\begin{cases}x+y=p^2 \\x^2-xy+y^2=p. \end{cases} $

Имеем $p=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^4-3xy$. Откуда $p(p^3-1)=3xy$. Число $p$ не может делить ни $x$ и ни $y$. Тогда $p=3$ . Но из тождества (1) имеем $4\cdot3 = 3^4+3(x-y)^2$ или $-25 = (x-y)^2$ – противоречие.
3-ой случай.

$\begin{cases}x+y=p \\x^2-xy++y^2=p^2. \end{cases} $

Имеем $p^2=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^2-3xy$. Откуда $0=xy$. Следовательно, получаем тривиальные решения.
4-ый случай. Самый трудный.

$\begin{cases}x+y=1 \\x^2-xy+y^2=p^3. \end{cases} $

Предположим, что $x\neq0 $ и $y\neq0 $, ибо в противном случае получаем тривиальные решения. Тогда из $x+y=1$ следует, что числа $x, y$ не могут одновременно отрицательными. Пусть $x>1$ - положительное число. Тогда $y=1-x$. Следовательно, получаем уравнение

$x^3+(1-x)^3=p^3$

Если положить x=k+1, то получаем уравнение (см. topic24793.html)

$(k+1)^3=k^3+p^3.$

Отметим, что разборы 2-ого и 3-ого случая не обязательны, ибо они не выполняются. Продвинутые ферматики должны это знать. Так же отметим, что ${x^3}+{y^3}={p^3}$, где ${p}$ – простое число, сводится к случаю $(k+1)^3=k^3+p^3.$
Я привёл этот пример как некое поучение для ферматиков. Так как даже с уравнением

$(k+1)^3=k^3+z^3$

когда $z$ – простое число не всё так просто. Так как ферматики не осилили более сложный случай - когда $z$ любое целое число (topic24793.html), то они могут поупражняться на очень упрощенном варианте ВТФ.

Совет ферматикам. Учить матчасть – доказательство Великого Уайлса и упрощайте его.
Путная статья на эту тему
Дмитрий Абраров. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.
http://www.polit.ru/article/2006/12/28/abrarov
Вот некоторые выдержки из этой статьи
"На сегодняшний день оригинальный крайне специальный текст статьи Уайлса и совместной статьи Уайлса и Тейлора уже адаптирован… Это сделано новом издании книги Ю. Манина и А. Панчишкина «Современная теория чисел». Им удалось успешно сгладить определенную искусственность оригинального доказательства."
"Кроме того, американский математик Серж Ленг, яростный пропагандист доказательства, включил некоторые наиболее важные конструкции доказательства в третье издание своего, ставшего классическим, университетского учебника «Алгебра»."
"… доказательство Уайлса представляет исключительно благоприятный материал для изучения огромного пласта современной фундаментальной математики. Здесь студентам можно показать как задача классической теории чисел тесно связана с такими разделами чистой математики как современная алгебраическая теории чисел, современная теория Галуа, p-адическая математика, арифметическая алгебраическая геометрия, коммутативная и некоммутативная алгебра."
"Давайте напоследок немного пофантазируем. Возможно, настанет время, когда курсы математики в вузах, и даже в школах, будут подстроены под методы доказательства Уайлса. Это означает, что Великая теорема Ферма станет не только модельной математической задачей, но и методологической моделью для преподавания математики. На ее примере можно будет изучать, по сути, все основные разделы математики. Более того, будущая физика, а может быть даже биология и экономика, станут опираться именно на этот математический аппарат. А вдруг?"

[shwedka]

Хочу добавить, что у Абеля сформулировано и обсуждается более общее утверждение,
что числа в уравнении Ферма не могут быть степенями простых.
Полного доказательства Абель не приводит.
В книге Л.Е.Диксона, История теории чисел, т.2, стр 731--776, вся глава посвящена изложению элементарных
результатов по ВТФ, включая и задачу о простых числах.
Ферматики призываются самостоятельно доказать приведенные там утверждения о ВТФ.
Доказательство Абеля реконструировано в http://www.mathpages.com/home/kmath014.htm

[Belfegor]

grisania в сообщении #751966 писал(а):

Отметим, что разборы 2-ого и 3-ого случая не обязательны, ибо они не выполняются. Продвинутые ферматики должны это знать. Так же отметим, что ${x^3}+{y^3}={p^3}$, где ${p}$ – простое число, сводится к случаю $(k+1)^3=k^3+p^3.$
Я привёл этот пример как некое поучение для ферматиков.

Уважаемый grisania! Вроде у Ферма речь шла о натуральных решениях, то бишь положительных числах и значит 4-го случая не существует. А вы предлагаете современную версию ВТФ? Но если Ферма работал только с положительными числами, тогда и его утверждение о замечательном доказательстве теоремы, некорректно применять к современной трактовке ВТФ. Для натуральных чисел, рассмотренный вами случай, легко доказывается, а для целых чисел всё выглядит куда сложнее.

[serega57]

grisania в сообщении #751966 писал(а):

Совет ферматикам. Учить матчасть – доказательство Великого Уайлса и упрощайте его

grisania в сообщении #751966 писал(а):

В отличие от brukvalub я считаю, что их лучше просвещать, ибо не ведают где у них закопана элементарная ферьмячья ошибка.

. Мил человек как то можно я Вас просвещу если р простое то доказывать даже нет необходимости. Это доказывается по законам арифметики 3 класса. 

[vasili]

Уважаемый qrisania!
"Следовательно, получаем уравнение
$x^3+(1-x)^3=p^3

Если рассматривать это уравнение для 1 случая ВТФ, т.е. $(X,3) =1$ и $[(1-X), 3] =1$, то подставляя в место P простые
числа вида $6n +5$ и $6n +1$ приходим к противоречию. В первом значении P противоречие
$125-1\equiv 0\mod 3$, во втором значении P противоречие $3X(X-1)\equiv 0\mod 9$.
Если $P =6n+5$, то противоречие сохраниться и для 2 случая ВТФ.

[serega57]

shwedka в сообщении #752049 писал(а):

очу добавить, что у Абеля сформулировано и обсуждается более общее утверждение,
что числа в уравнении Ферма не могут быть степенями простых.
Полного доказательства Абель не приводит

. Помочь доказать то что никогда не нуждалось в доказательстве. И не только для частного случая n =3,Z=p, а для любой нечетной степени и строго :ограниченным: Z. Теорема Ферма нуждается в доказательстве лишь в том и только том случаи когда (a,b) взаимно просты, а их сумма a+b= к^n к= N n=n. Я не могу сказать у кого какое разложение, моё такое, что утверждает а^n + b^n:(a+b)=N. Прошу прошения подзабыл, что здесь на форуме любовь к частному, а не к целому. А поэтому, воспользовавшись способом обучения Гришани перейдём к туфельки инфузории n=3. А затем любой из Вас может эту туфельку превратить в крупное млекопитающие мамонта ∞. Это кому что нравится от сложного к простому или от простого к сложному. а^3+b^3=(a+b)х(ab+k^2) k=(b-a) надеюсь теперь понятно почему Z≠p и вообще ничем кроме k^n. Только при таком Z могут возникнуть сомнения но не более. При других степенях в водица доп. коэф. Но всегда остается a+b а этого достаточно бес, каких бы не было поправок. В принципе всю теорему можно свести к следуещиму простому выражению a^n + b^n <( 〖a+b)〗^n откуда следует, что Z ≠N. Имеем в виду, когда взаимно просты а их сумма

-- Чт дек 12, 2013 16:12:28 --

[kirsan]

$p^3=x^3+y^3=(x+y)N$
Предполагается, что $p$ - простое число.
Следовательно, должно быть: $(x+y)=p$
Поскольку $N\ne (x+y)^2$, т. е.:
$p^3\ne(x+y)^3$, число $p$
не может быть простым числом.

Это справедливо для любой нечетной степени.

Для любой четной степени уравнение запишем следующим образом:
$p^k=x^k-y^k=(x-y)(x+y)N$
само собою понятно, что в этом случае $p$ не может быть простым числом.

[lasta]

kirsan в сообщении #865144 писал(а):

$p^3=x^3+y^3=(x+y)N$

Уважаемый kirsan !
Это не укладывается в понятие простого числа.

[kirsan]

lasta в сообщении #865148 писал(а):

kirsan в сообщении #865144 писал(а):

$p^3=x^3+y^3=(x+y)N$

Уважаемый kirsan !
Это не укладывается в понятие простого числа.

Уважаемый(ая) lasta,
В начале темы ее автор полагает, что $p$ - простое число.
Я привел доказательство, что этого не может быть.
Если не вводить людей в заблуждение, то применительно к теореме Ферма
в его время простым числом, как это изложено в элементарной математике,
называлось число, делящееся само на себя и на единицу.
Все остальное от лукавого и к теореме Ферма не имеет никакого отношения.
В математике времен Ферма никаких современных "заморочек" не было.

[lasta]

kirsan в сообщении #865151 писал(а):

В математике времен Ферма никаких современных "заморочек" не было.

Вы доказали, что только одно число не может быть простым. а как быть с остальными? Ведь общая формулировка Абеля - "числа в уравнении Ферма не могут быть степенями простых". Так что необходимо доказательство для остальных оснований степеней УФ.

[kirsan]

lasta в сообщении #865187 писал(а):

kirsan в сообщении #865151 писал(а):

В математике времен Ферма никаких современных "заморочек" не было.

Вы доказали, что только одно число не может быть простым. а как быть с остальными? Ведь общая формулировка Абеля - "числа в уравнении Ферма не могут быть степенями простых". Так что необходимо доказательство для остальных оснований степеней УФ.

Уважаемый(ая) lasta,
Исходное уравнение:
$x^3+y^3=p^3$ (1)
Доказано, что $p$ не может быть простым числом.
Перепишем формулу (1) следующим образом:
$x^3=p^3-y^3$
Пусть $p$- простое число.
$x^3=(p-y)M$
Пусть $(p-y)=q$ - простое число.
Следовательно, число $y$ должно быть четным, т. е. не простым числом. На этом доказательство можно прекратить из-за очевидного факта.
Однако продолжим.
Поскольку $M\ne(p-y)^2$,
$x^3\ne(p-y)^3$
Следовательно, $x$ не может быть простым числом.
При этом надо учесть, что в уравнении теоремы Ферма одно число всегда четное, т. е. не простое, за исключением тривиального значения $(p-y)=2$
Следовательно, в теореме Абеля речь может идти только о двух нечетных числах, а не о всех трех.

[lasta]

kirsan в сообщении #865495 писал(а):

Следовательно, в теореме Абеля речь может идти только о двух нечетных числах, а не о всех трех.

Уважаемый Kirsan !
Речь могла идти и о трех числах. Но это не важно. Главное, Вы доказали, что все три числа не могут быть степенями простых. На мой взгляд очень убедительно и очень просто. Однако, существует ли подобное доказательство мне не известно.Нет сомнения, что ваше доказательство легко перенести и для УФ с произвольным показателем.

[kirsan]

Уважаемый Kirsan !
Речь могла идти и о трех числах. Но это не важно. Главное, Вы доказали, что все три числа не могут быть степенями простых. На мой взгляд очень убедительно и очень просто. Однако, существует ли подобное доказательство мне не известно.Нет сомнения, что ваше доказательство легко перенести и для УФ с произвольным показателем.[/quote]

Уважаемый lasta,
Вы абсолютно правы, доказательство справедливо для любых показателей степени, но я выполнял требования форума.
Для нечетных показателей степени уравнение теоремы Ферма в общем случае следует писать так:
$x^n+y^n=p^n=(x+y)N$
Доказательство аналогично приведенному для степени $n=3$:
в формулах приведенных доказательств вместо показателя $3$ следует писать показатель $n$.
Для четных показателей степени уравнение теоремы Ферма следует писать так:
$p^{2k}=x^{2k}-y^{2k}=(x-y)(x+y)R$
Но здесь очевидно, что $p$ не может быть простым числом.

[Cash]

kirsan в сообщении #865600 писал(а):

$x^n+y^n=p^n=(x+y)N$
Доказательство аналогично приведенному для степени $n=3$

Совсем аналогично уже не получится

[lasta]

kirsan в сообщении #865495 писал(а):

Пусть $(p-y)=q$ - простое число.

$(p-y)=q=1$. Поясните этот момент.