Система неравенств с параметром

[freedom_of_heart]

Как проще всего решить эту задачу?

Найти все значения параметра, при каждом из которых система не имеет решения.

$ \begin{cases} \dfrac{x-ax-a}{x+2a-2}\geqslant 0 \\ x-ax>8 \end{cases}$

Есть идея рассмотреть случаи:

1)

$ \begin{cases} x-ax\ge a\\ x+2a>2\\ x-ax>8 \\ \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x(1-a)\ge a\\ x>2-2a\\ x(1-a)>8 \\ \end{cases}$


а) $a<1$

$ \begin{cases} x(1-a)\ge a\\ x>2-2a\\ (1-a)x>8 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\ge \frac{a}{1-a}\\ x>2-2a\\ (1-a)x>\frac{8}{1-a} \\ \end{cases}$

В координатах $(x,a)$ это выглядит так:



И это только первый случай, немного громоздко и нерационально, как мне кажется, решать так задачу, ведь еще остальные случаи нужно рассмотреть. Можно ли сделать иначе, с чего начать?

[Null]

Попробуйте подставить очень маленькие $x<0$(незнаю как тут лучше сказать) и очень большие $x$.

[TOTAL]

freedom_of_heart в сообщении #865389 писал(а):

Можно ли сделать иначе, с чего начать?

Слабо найти хоть одно значение $a$, при котором нет решения?

[freedom_of_heart]

TOTAL в сообщении #865439 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #865389 писал(а):

Можно ли сделать иначе, с чего начать?

Слабо найти хоть одно значение $a$, при котором нет решения?

$a=1$

-- Вт май 20, 2014 12:46:36 --

Null в сообщении #865429 писал(а):

Попробуйте подставить очень маленькие $x<0$(незнаю как тут лучше сказать) и очень большие $x$.

При больших $x$ оба неравенства стремятся к таким $\dfrac{1-a}{1}\ge 0$

При маленьких $x$ первое неравенство стремится к $\dfrac{-a}{a-1}\ge 0$

[Rak so dna]

freedom_of_heart в сообщении #865389 писал(а):

Как проще всего решить эту задачу?

Найти все значения параметра, при каждом из которых система не имеет решения.

$ \begin{cases} \dfrac{x-ax-a}{x+2a-2}\geqslant 0 \\ x-ax>8 \end{cases}$

Попробуйте рассмотреть четыре случая:
1. $a < -\frac{1+\sqrt{17}}{4}$
2. $-\frac{1+\sqrt{17}}{4}\leqslant a < 1$
3. $1\leqslant a < \frac{1+\sqrt{17}}{4}$
4. $\frac{1+\sqrt{17}}{4}\leqslant a $

У меня получилось $1\leqslant a\leqslant 8$

[TOTAL]

freedom_of_heart в сообщении #865469 писал(а):

TOTAL в сообщении #865439 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #865389 писал(а):

Можно ли сделать иначе, с чего начать?

Слабо найти хоть одно значение $a$, при котором нет решения?

$a=1$

Теперь положите $t=x-ax-8$, про второе неравенство забудье и ищите другие $a$, при которых первое неравенство (относительно $t$) не имеет положительных решений.

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #865389 писал(а):

И это только первый случай, немного громоздко и нерационально,

И это ещё мягко сказано. Угадайте, почему в этом случае ($1-a>0$) решения заведомо будут, безо всякого счёта. Каков в этом случае тип решения первого неравенства исходной системы -- и каков всегда (кроме $a=1$) тип решения второго неравенства?...

Вот случай $1-a<0$ надо уже рассматривать честно, но и там ничего громоздкого. Ограниченный промежуток, порождаемый первым неравенством, не должен пересекаться с бесконечным интервалом, порождаемым вторым. Получается две простеньких системки неравенств для $a$: граница второго интервала должна располагаться по "неправильную" сторону относительно соответствующей границы первого промежутка (одной из двух -- в зависимости от порядка, в котором располагаются те две границы).

-- Вт май 20, 2014 15:25:23 --

Rak so dna в сообщении #865503 писал(а):

У меня получилось $1\leqslant a\leqslant 8$

А проверьте. Подставьте, скажем, восьмёрку в исходную систему. Да пусть хоть и семёрку.

[freedom_of_heart]

TOTAL в сообщении #865514 писал(а):

Теперь положите $t=x-ax-8$, про второе неравенство забудье и ищите другие $a$, при которых первое неравенство (относительно $t$) не имеет положительных решений.

Спасибо! При $a\ne 1$ получилась такая система:

$ \begin{cases} \dfrac{(1-a)(t-a+8)}{t-(a^2-2a+3)}\geqslant 0 \\ t>0 \end{cases}$

В системе $(x,a)$ прямая и парабола.



Теперь не очень очевидно -- как анализировать этот график (или лучше без графика?)

При $a>1$ будет 2 случая -- область ниже прямой и выше параболы, второй случай -- выше прямой, ниже параболы.

При $a<1$ выше прямой и выше параболы или ниже прямой, ниже параболы.

Но пока не понятно -- как это поможет.

-- Вт май 20, 2014 17:16:57 --

Цитата:

И это ещё мягко сказано. Угадайте, почему в этом случае ($1-a>0$) решения заведомо будут, безо всякого счёта. Каков в этом случае тип решения первого неравенства исходной системы -- и каков всегда (кроме $a=1$) тип решения второго неравенства?...

Вот случай $1-a<0$ надо уже рассматривать честно, но и там ничего громоздкого. Ограниченный промежуток, порождаемый первым неравенством, не должен пересекаться с бесконечным интервалом, порождаемым вторым. Получается две простеньких системки неравенств для $a$: граница второго интервала должна располагаться по "неправильную" сторону относительно соответствующей границы первого промежутка (одной из двух -- в зависимости от порядка, в котором располагаются те две границы).

Ух, что-то тут мало что мне понятно( А почему промежуток, порождаемый первым неравенством при $1-a<0$ будет ограниченный?

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #865569 писал(а):

А почему промежуток, порождаемый первым неравенством при $1-a<0$ будет ограниченный?

А по методу интервалов: знаки коэффициентов при иксах в числителе и знаменателе противоположны.

Можно, кстати, тот способ совсем упростить: просто потребовать, чтобы корни и числителя, и знаменателя первого неравенства оказались по одну сторону от корня, соответствующего второму неравенству (независимо от того, как корень числителя расположен по отношению к корня знаменателя). Правда, отдельно придётся оговорить особый случай, когда корни числителя и знаменателя совпадают, но там-то уж всё совсем очевидно.

[Rak so dna]

ewert в сообщении #865525 писал(а):

Rak so dna в сообщении #865503 писал(а):

У меня получилось $1\leqslant a\leqslant 8$

А проверьте. Подставьте, скажем, восьмёрку в исходную систему. Да пусть хоть и семёрку.

Прошу простить, неверно cписал условие:
$ \begin{cases} \dfrac{x-ax-a}{x-2a-2}\geqslant 0 \\ x-ax>8 \end{cases}$
Для
$ \begin{cases} \dfrac{x-ax-a}{x+2a-2}\geqslant 0 \\ x-ax>8 \end{cases}$
смотрим
1. $a < \frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{2}\leqslant a < 1$
3. $1\leqslant a < 2$
4. $2\leqslant a $
и получаем $1\leqslant a\leqslant 3$

[ewert]

Rak so dna в сообщении #865589 писал(а):

смотрим
1. $a < \frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{2}\leqslant a < 1$
3. $1\leqslant a < 2$
4. $2\leqslant a $

Нет, не в таком порядке смотрим. Половинку гордо игнорируем -- левее единички заранее ясно, что решения существуют. Единичку надо рассмотреть отдельно, это особый случай. Правее единички есть ещё один особый случай -- это двойка, в которой совпадают корни числителя и знаменателя; его тоже надо рассмотреть отдельно, что тривиально. И в качестве нетривиальной области остаётся лишь $(1;2)\cup(2;+\infty)$, где отсутствие решений сводится к тому, что корень второго неравенства лежит левее обоих корней первого, т.е. к системе

$\begin{cases}\dfrac{8}{1-a}\leqslant\dfrac{a}{1-a}; \\ \dfrac{8}{1-a}\leqslant2(1-a).\end{cases}$

После чего (с учётом обоих особых случаев), естественно,

Rak so dna в сообщении #865589 писал(а):

$1\leqslant a\leqslant 3$

[Rak so dna]

ewert
У Вас все верно, но надо еще говорить какие-то слова, поясняющие почему Вы избавляетесь от тех или иных значений $a$ (хотя это и просто). В моем решении говорить вообще ничего не надо (хотя случай $a=1$, конечно же, рассматривается отдельно)

[mihailm]

freedom_of_heart, это хорошо известная задача. Вступительные МГУ где-то 66 год, простых решений у нее нет.
Самое простое решение начато у вас на рисунке. Отметьте там необходимые области и начинайте выписывать решение.

[ewert]

mihailm в сообщении #865644 писал(а):

простых решений у нее нет.

Система из двух неравенств на параметр -- это очень сложно?...

[freedom_of_heart]

ewert в сообщении #865525 писал(а):

Угадайте, почему в этом случае ($1-a>0$) решения заведомо будут, безо всякого счёта.

Пока что не получилось угадать(