геодезические линии

[loshka]

Здравствуйте, решаю такую задачку
показать, что геодезически линии поверхности с первой квадратичной формой

$ds^2=v(du^2+dv^2)$

являются параболами на плоскости с декартовыми координатами $u,v$

Задачка вроде простая, только вот никак параболы не получаются

нашел символы Кристоффеля первого и второго рода
$$ \begin{pmatrix} 0 & 1/2v \\ 1/2v & -1/2v \\ \end{pmatrix} ​$$​

$$ \begin{pmatrix} -1/2v & 0 \\ 0 & 1/2v \\ \end{pmatrix} ​$$​

Потом составляю дифф уравнение

$\frac{d^2u}{d^2v}=\frac{1}{2v}+(\frac{1}{4v^2}-\frac{1}{v})\frac{du}{dv}-\frac{1}{2v}(\frac{du}{dv})^3$

Если проверять являются ли параболы решениями, то явно нет, да и вообще решениями получается, что-то далеко не похожее на параболу

Подскажите пожалуйста, где я ошибаюсь?

[loshka]

Подскажите пожалуйста, а то уже часов 7 мучаюсь

[Deggial]

loshka, замечание за искусственный подъем темы

[svv]

1) Вызывают сомнения символы Кристоффеля. Вы напрасно их записали в виде матрицы. Так как у них три индекса, при двух координатах всего 8 компонент. С учетом симметрии $\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ — 6 независимых компонент. Поэтому трудно понять, где у Вас какие компоненты, относятся ли обе матрицы к кристоффелям второго рода (которые, собственно, и входят в уравнение геодезической) или первая к первому роду, вторая ко второму. Потом, в нужных кристоффелях $v$ в знаменателе, но по Вашим формулам трудно понять, так у Вас получилось или нет.

У меня получилось следующее:
$\Gamma^u_{uu}=0$
$\Gamma^u_{uv}=\frac 1 {2v}$
$\Gamma^u_{vu}=\frac 1 {2v}$
$\Gamma^u_{vv}=0$
$\Gamma^v_{uu}=-\frac 1 {2v}$
$\Gamma^v_{uv}=0$
$\Gamma^v_{vu}=0$
$\Gamma^v_{vv}=\frac 1 {2v}$

2) Уравнение геодезической записывается вовсе не для произвольного параметра, поэтому просто так вместо $s$ подставить $u$ или $v$ нельзя. Такой вид оно имеет лишь для канонического параметра, в нашем случае это натуральный (равный длине дуги кривой от выбранного начала) или полученный из такового линейной заменой. Нам же надо получить связь между $u$ и $v$, поэтому $s$ не нужен абсолютно, и от него надо избавиться. Но при переходе к другому параметру уравнение изменяет свой вид:
${\ddot x}^i+\Gamma^i_{jk}{\dot x}^j {\dot x}^k=\frac {\ddot s}{\dot s}{\dot x}^i$,
где ${\dot s}^2=g_{jk}{\dot x}^j {\dot x}^k$. Это уравнение ещё вывести надо, хоть это и несложно.

3) Надо догадаться из геометрических соображений, что в качестве независимого параметра надо взять именно $u$. Далее всё подставляем, упрощаем, решаем. В конечном счете всё сводится к одному уравнению $2v\ddot v=1+{\dot v}^2$, решением которого будет полином второй степени — заветная парабола. Это писанины ещё где-то на страницу.

В общем, на каждом этапе почти наверняка понадобятся ещё подсказки.

[loshka]

я воспользовался соображениями из этого материалаhttp://pythagoras.ucoz.ru/Mypubl/GLA4.pdf и составлял уравнение в виде, как на странице 23, я тоже думал, что $u$ должен быть независимым параметром, помучаюсь еще.
Я искал символы Кристоффеля первого и второго рода(просто не умею писать верхние и нижние индексы, поэтому в виду матрицы) первая и вторая матрица соответственно

[svv]

Но ведь их каждого рода по 8 штук. Например, второго рода:
1) $\Gamma^1_{11}$ или $\Gamma^u_{uu}$
2) $\Gamma^1_{12}$ или $\Gamma^u_{uv}$
3) $\Gamma^1_{21}$ или $\Gamma^u_{vu}$
4) $\Gamma^1_{22}$ или $\Gamma^u_{vv}$
5) $\Gamma^2_{11}$ или $\Gamma^v_{uu}$
6) $\Gamma^2_{12}$ или $\Gamma^v_{uv}$
7) $\Gamma^2_{21}$ или $\Gamma^v_{vu}$
8) $\Gamma^2_{22}$ или $\Gamma^v_{vv}$
Ладно, в силу симметрии $\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}$ и $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}$. Но всё равно остается шесть, не четыре. Как тогда понимать Ваши матрицы?

-- Вт май 20, 2014 15:37:16 --

Я всё понял.
Вы, похоже, считаете, что $\Gamma^1_{\text{какие-то индексы}}$ — это символы Кристоффеля первого рода, а $\Gamma^2_{\text{какие-то индексы}}$ — это символы Кристоффеля второго рода?

-- Вт май 20, 2014 16:24:01 --

Если пользуетесь тем материалом, то для Вас самый быстрый способ решить задачу — это взять те символы Кристоффеля, которые у меня (все второго рода!) и подставить в уравнение (18) на странице 24. Вы получите то дифференциальное уравнение для $v$, которое я привел.

[loshka]

вот я так и сделал, но у меня 4 символ Кристофеля не нулевой, а как у Вас он получился нулевым не понимаю оО, исходя из формулы этого символа получается, что он $-\frac{1}{2u}$

-- 20.05.2014, 19:39 --

да, видимо я неверно понимал определение символов Кристоффеля первого и второго рода)

[svv]

См. формулу (6) и определение 1 на странице 6.
Воспользуемся ей. Сначала выражаем символ Кристоффеля второго рода $\Gamma^u_{vv}$ через символы Кристоффеля первого рода:
$\Gamma^u_{vv}=g^{uu}\Gamma_{u,vv}+g^{uv}\Gamma_{v,vv}$
Второе слагаемое сразу равно нулю, потому что $g^{uv}=0$.

А в первом надо выразить символ Кристоффеля первого рода $\Gamma_{u,vv}$ через производные компонент метрического тензора по координатам:
$\Gamma_{u,vv}=\frac 1 2\left(\frac{\partial g_{vu}}{\partial v}+\frac{\partial g_{vu}}{\partial v}-\frac{\partial g_{vv}}{\partial u}\right)$
Первое и второе слагаемые равны нулю, потому что $g_{vu}=0$, а третье — потому что $g_{vv}=v$ не зависит от $u$.
Таким образом, и $g^{uu}\Gamma_{u,vv}$ равно нулю.

Стало быть, и $\Gamma^u_{vv}=0$.

[loshka]

прикольно, а я использовал следующую формулу из учебника
$\Gamma^1_{22}=\frac{-G_{u}G+2F_{v}G-G_{v}E}{2(EG-F^2)}$

Если использовать, что
$E=v$
$F=0$
$G=v$

то получается $\frac{1}{-2v}$

[svv]

В этой формуле небольшая ошибка: вместо $G_v E$ должно быть $G_v F$. И тогда всё в порядке, так как $F=0$.

Правильный вариант см., например, здесь, формула (22).
Если что, её и вывести нетрудно (с помощью формулы (6) в Вашем материале и формулы для элементов обратной матрицы $2\times 2$).

[loshka]

действительно, но странно, выписал из учебника, точно не ошибся, решал задачки по этим формулам ранее и ответы верны получались

Спасибо, перерешаю тогда все

[svv]

Погодите, надо просто сравнить остальные аналогичные формулы в учебнике с формулами из MathWorld. Эта формула использовалась только для одного $\Gamma^1_{22}$, а остальные у Вас правильные.

[loshka]

эм, меня тоже это смущает, мне просто все формулы писать, минут 40, буду ориентироваться на те формулы,которыми вы пользуетесь, потому что задачка то простая, а если действительно моя формула ошибочна, то тогда понятно почему у меня такое нехорошее уравнение получилось

[svv]

Не забудьте, что надо использовать то уравнение, в котором независимая переменная $u$, а зависимая $v$, т.е. на стр. 24. После всех подстановок и упрощений должно получиться уравнение $2v\ddot v=1+{\dot v}^2$.

[loshka]

Хорошо, спасибо)