Базис Грёбнера.

[misha89]

Используя базис Грёбнера, решить в $ \mathbb{C}^3$ систему уравнений $ x^2y-z^3=0, (1) 2xy-4z-1=0, (2 z-y^2=0, (3) x^3-4yz=0, (4) $
Задаю очередность $x > y >z.$
Нахожу сизигию, например, для первого и второго уравнения.
$S(1,2) = 2* (1) - x* (2) = 2x^2y-2z^3 - 2x^2y+4xz+x = 4xz+x-2z^3.$
Делю ее на первое уравнение в системе
$4xz+x-2z^3 / x^2y-z^3 \ne 0.$
Нацело не делится. Не делится и на остальные три уравнения. Таким образом я поэтапно нашел все сизигии от уравнений из системы и ни одна не делилась на любое из уравнений в системе. При это, вольфрам математика говорит, что базис Грёбнера равен исходной системе уравнений.

Вопросы:
1. Что я делаю не так?
2. Напомните, что за $ \mathbb{C}^3$? вектор комплесных чисел? Забыл как он выглядит и его свойства, можете ссылку скинуть, пожалуйста?

[DLL]

Чтобы построить базис Гребнера, Вам надо посчитать все пары S-полиномов, потом произвести редукцию каждого S-полинома по исходной системе, и если остаток не нуль - добавить его к системе.
А не делить на "первое уравнение в системе"

Цитата:

При это, вольфрам математика говорит, что базис Грёбнера равен исходной системе уравнений.

Вранье

[misha89]

DLL,
$S(1,2) = 2* (1) - x* (2) = 2x^2y-2z^3 - 2x^2y+4xz+x = 4xz+x-2z^3; S(1,3) = x^2 - yz^3; S(1, 4) = - xz^3 + 4y^2z; S(2,3) = 2xz - 4yz-y; S(2,4) = - 4x^2z-x^2+8y^2z; S(3,4) = x^3z-4y^3z. $

Теперь надо получившиеся сизигии по исходной системе редуцировать.

Старший член $(1) - x^2y, (2) - 2xy, (3) - (-y^2), (4) - x^3.$

Смотрим на $S(1,2)$. Этот полином не делится ни на один старший член. Значит его добавляем в базис.

Смотрим на $S(1,3)$. Этот полином не делится ни на один старший член. Значит его добавляем в базис.

Смотрим на $S(1,4)$. Этот полином не делится ни на один старший член. Значит его добавляем в базис.

Смотрим на $S(2, 3)$. Этот полином не делится ни на один старший член. Значит его добавляем в базис.

Смотрим на $S(2, 4)$. Этот полином не делится ни на один старший член. Значит его добавляем в базис.

Смотрим на $S(3, 4)$. Делится на $(1).$ $x^3z-4y^3z - z(x^3-4yz) = -4y^3z+4yz^2.$ Теперь снова смотрим делится ли полученный полином на старший член любого из уравнений исходной системы. На $(2) - (-y^2).$ $-4y^3z+4yz^2 - 4yz(z-y^2) = -4y^3z+4yz^2-4yz^2+4y^3z = 0.$ Супер, значит мы не включаем $S(3, 4)$ в базис?

И получается базис будет:
$x^2y-z^3=0, 2xy-4z-1=0, z-y^2=0, x^3-4yz=0, 4xz+x-2z^3, x^2 - yz^3, - xz^3 + 4y^2z, 2xz - 4yz-y, - 4x^2z-x^2+8y^2z? $

На данном этапе есть ошибки? Правильно ли я понял алгоритм?

[DLL]

Ну во-первых, я так понимаю речь везде идет о лексикографическом упорядочивании x > y > z.
S(1,3) - у вас посчитан неправильно. Размышления о редукции S(1,4) и S(2,4) неверны...

[misha89]

DLL в сообщении #865531 писал(а):

Ну во-первых, я так понимаю речь везде идет о лексикографическом упорядочивании x > y > z.
S(1,3) - у вас посчитан неправильно. Размышления о редукции S(1,4) и S(2,4) неверны...

Да, о лексикографическом.
Да, не углядел.
$S(1,3) = x^2z - yz^3.$

Смотрим на $S(1,3)$. Этот полином не делится ни на один старший член. Значит его добавляем в базис.

По поводу размышлений: мы же смотрим, чтобы старший член $S-$полинома делился на старший член любого из уравнений в системе?
Или надо, чтобы хотя бы один член из $S-$полинома делился на старший член любого из уравнений в системе?

Кажется уловил мысль.

Смотрим на $S(1,4)$. $S(1, 4) = - xz^3 + 4y^2z$ Второй член делится на старший член $(3) - (-y^2).$

$- xz^3 + 4y^2z +4z^2 - 4y^2z = -xz^3+4z^2.$ Смотрим делится ли полученный полином. Не делится. Включаем его в систему.

Смотрим на $S(2,4)$. $S(2,4) = - 4x^2z-x^2+8y^2z$ Третий член делится на $(3) - (-y^2).$

$- 4x^2z-x^2+8y^2z +8z^2 - 8y^2z = - 4x^2z-x^2+8z^2.$ Результат ни на что не делится. Включаем в систему.

Базис:
$x^2y-z^3=0, 2xy-4z-1=0, z-y^2=0, x^3-4yz=0, 4xz+x-2z^3, x^2z - yz^3, -xz^3+4z^2, 2xz - 4yz-y, - 4x^2z-x^2+8z^2? $

[DLL]

Когда старший член S-полинома не делится ни на один старший член какого-либо полинома из системы, то вы его записываете в остаток и переходите к следующему члену в соответствие с упорядочиванием. Если вы посмотрите на S(1,4), то второй его член как раз делится на старший член полинома (3).

[misha89]

DLL
, пока мысль допиливал, вы уже все написали(

-- 20.05.2014, 15:34 --

Кстати, эти странные выделения жирным цветом рандомных строк я не делаю.

[DLL]

Похоже на правду. Теперь вы имеете систему из 9 полиномов.
Теперь для этой системы надо посчитать S-полиномы и провести редукцию.
То есть. Начинайте сначала

[Nemiroff]

(Оффтоп)

misha89 в сообщении #865538 писал(а):

Кстати, эти странные выделения жирным цветом рандомных строк я не делаю.

http://dxdy.ru/topic47966.html

[misha89]

Кстати вопрос $z-y^2=0$. Старший член будет первый или второй? Второй же отрицательный. $x>y>z$ упорядочивание.

И еще, в получившейся системе все сизигии приравнивать к нулю, как в исходной системе уравнения были приравнены, или так оставлять?

И еще, делить получившиеся сизигии надо на старшие члены именно в порядке от 0 до n? то есть если у меня в системе есть 2 уравнения, чьи старшие члены делят сизигию, то надо делить на тот, что первый?

$ .... x-1=0 .... x-y+1=0.$

$S(k, n) = x+y^2+z-1.$

Пример выше. Мне сизигию делить на уравнение $x-1 or x-y+1$?

Пример сферический. ПРосто понять бы.

[DLL]

misha89 в сообщении #865562 писал(а):

Кстати вопрос $z-y^2=0$. Старший член будет первый или второй? Второй же отрицательный. $x>y>z$ упорядочивание.

При лексикографическом $-y^2$. Коэффициент не играет роли.

Цитата:

И еще, в получившейся системе все сизигии приравнивать к нулю, как в исходной системе уравнения были приравнены, или так оставлять?

Когда вы строите базис Гребнера, вы работаете с идеалом, а не с системой уравнений.

Цитата:

И еще, делить получившиеся сизигии надо на старшие члены именно в порядке от 0 до n? то есть если у меня в системе есть 2 уравнения, чьи старшие члены делят сизигию, то надо делить на тот, что первый?

В алгоритме редукции да - на тот что первый.

[misha89]

DLL, у меня тут базис до 30ти уравнений дорос и снова считать надо...
То, что надо искать в пространстве векторов комплексных чисел может как-то мне помочь на данном этапе? Сократить число уравнений.

Или как это должно выглядеть в вольфраме математике? Я имею в виду как записать условие $ \mathbb{C}^3$ там? Это же играет роль при построении базиса?

-- 20.05.2014, 19:27 --

И еще, мы точно делаем то, что надо?

Мне же обычный базис надо построить. В книге написано, что надо делить каждую сизигию на каждое уравнение из системы нацело. Никаких старших полиномов и т.д. Это редуцированный базис получается и т.д.

[DLL]

Если это задание по компьютерной алгебре, вполне возможно, что разрешается пользоваться системами компьютерной алгебры - например, чтобы считать S-полиномы и производить редукцию.

[misha89]

DLL, нет это задание по обычной алгебре.

То есть вектор комплексных чисел - это просто форма ответа?

никак не сократить число вычислений?

-- 20.05.2014, 21:14 --

DLL, но мне точно нужна именно редукция?

Повторюсь, что в книге у меня просто идет деление каждой сизигии на каждый полином из исходной системы , ат.к. я делаю это вручную, то мне не очень приятно ошибиться с методом.

[DLL]

Ума не приложу, что именно Вам нужно

Обычно просят вручную найти базис Гребнера, чтобы студент лучше понял классический алгоритм Бухбергера. А он именно так и работает - S-полиномы + редукция.

И все-таки я вам настойчиво советую воспользоваться системой компьютерной алгеброй. Там можно посчитать как S-полиномы, так и редукцию.

А если еще научитесь находить базис Гребнера при помощи соответствующей команды, будете приятно удивлены