Разложение самосопряженного оператора

[Foxer]

Задача:
Пусть $H$ - гильбертово пространство и $A \in L(H)$ - самосопряженный оператор. Доказать, что существуют и единственны такие самосопряженные операторы $A^+, A^- \geq 0$, что $A^+A^- = A^-A^+ = 0$ и $A = A^+ - A^-$, причем, если $A_1, A_2 \in L(H)$ - самосопряженные операторы, для которых $0 \leq A_1 \leq A^+$, $0 \leq A_2 \leq A^-$ и $A = A_1 - A_2$, то $A_1 = A^+$ и $A_2 = A^-$.

Идеи:
В общем, идея только одна. Хочется сказать, что все пространство раскладывается в прямую сумму $H_+$ и $H_-$ - вектора на которых $(Ax, x) \geq 0$ и $(Ax, x) \leq 0$, это неправда, ибо пересекаются $H^+$ и $H^-$ по ядру $A$.

Ну далее операторы $A^+$ и $A^-$ хочется задать так: $A^+$ будет равен $A$ на $H_+$ и 0 иначе. С $A^-$ аналогично. То что их произведение ноль - очевидно. Становятся вопросы, а) почему они самосопряжены? б) Единственность тут вообще дико хромает.

Еще одна идея по поводу единственности - ввести частичный порядок (благо, ясно как он вводится) и забабахать лемму Цорна. Но преподаватель лемму Цорна недолюбливает, а если можно решить без нее, то надо решать без нее.

В общем, очень прохладно с решением, поэтому и спрашиваю у вас, коллеги.

[ewert]

Foxer в сообщении #865386 писал(а):

Но преподаватель лемму Цорна недолюбливает,

Он совершенно правильно делает, как минимум в этом случае: анализировать самосопряжённости с точки зрения аксиомы выбора -- неприлично.

Идея-то понятна. На роль пресловутых $A^+$ и $A^-$ вполне годятся положительная и отрицательная части того самосопряжённого оператора. Что других быть не может -- наверняка следует из того, что коммутирующие самосопряжённые операторы суть функции друг от друга (в смысле имеют общую спектральную меру). Но как именно следует, тем более без приплетения спектральной теоремы -- вникнуть не в силах: формулировка задачи настолько занудна, что желания вникать не возникает.

-- Вт май 20, 2014 02:16:44 --

Foxer в сообщении #865386 писал(а):

это неправда, ибо пересекаются $H^+$ и $H^-$ по ядру $A$

А, это. Ну это-то не имеет значения. Просто выкиньте это ядро, т.е. сузьте задачу на ортогональное дополнение к ядру (дополнение ведь инвариантно).

[g______d]

Foxer в сообщении #865386 писал(а):

б) Единственность тут вообще дико хромает.

Единственность хромает при разложении пространства на два подпространства, а операторы $A_+$ и $A_-$ как раз от этого зависеть не будут. Независимо от того, как мы распределяем общее ядро между положительным и отрицательным подпространством, оба оператора будут просто нулевыми на этом ядре.

[sup]

Разберитесь, для каких $f$
$f(A) = f(A^+) \pm f(A^-)$
После этого докажите, что
$A^+ = \frac{|A|+A}{2}$

$A^- = \frac{|A|- A}{2}$

[Foxer]

Так, ну я вроде бы все понял, за исключением того, где именно мы использовали самосопряженность?

[Foxer]

ewert в сообщении #865392 писал(а):

Foxer в сообщении #865386 писал(а):

На роль пресловутых $A^+$ и $A^-$ вполне годятся положительная и отрицательная части того самосопряжённого оператора.

Если брать операторы $A^+$ и $A^-$ как я предполагал, то ничего хорошего не выйдет, ибо они вроде даже и не операторами получатся. А определял я их так: $A^+ = A$, если $(Ax, x) > 0$ и 0 иначе. Совершенно не ясно почему он будет обладать линейностью.