Дана система ДУ в частных производных, которую предлагается решить гибридным методом конечных разностей и Рунге-Кутты 4 порядка.
![$ \[\left\{\begin{array}{l}{\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2} } =\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +\frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } ;} \\ {\frac{\partial ^{2} w}{\partial t^{2} } +\varepsilon \frac{\partial w}{\partial t} =} \\ {=\frac{1}{\lambda ^{2} } \left\{-\frac{1}{12} \frac{\partial ^{4} w}{\partial x^{4} } +\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } \frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } +\frac{3}{2} (\frac{\partial w}{\partial x} )^{2} \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } \right\}+q;} \end{array}\right. \, \, \, \, \, \,\] $ $ \[\left\{\begin{array}{l}{\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2} } =\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +\frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } ;} \\ {\frac{\partial ^{2} w}{\partial t^{2} } +\varepsilon \frac{\partial w}{\partial t} =} \\ {=\frac{1}{\lambda ^{2} } \left\{-\frac{1}{12} \frac{\partial ^{4} w}{\partial x^{4} } +\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } \frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } +\frac{3}{2} (\frac{\partial w}{\partial x} )^{2} \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } \right\}+q;} \end{array}\right. \, \, \, \, \, \,\] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/f/aff0d1c65b86b44b86116006264cc7de82.png)
Граничные условия системы (

,

) :

;
Начальные условия:

Частные производные по пространственной переменной

заменим конечноразностными апппроксимациями:



В результате получим систему:

Чтобы свести эту систему к системе ОДУ первого порядка сделаем замену переменных:

Теперь разобьем область дифференцирования сеткой

,
![$ t_j = hj$,$ j \in \left[0..2N_2 \right]$ $ t_j = hj$,$ j \in \left[0..2N_2 \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/8/8b8a87761e6f40f60a4b8f90f7b9b97382.png)
Двойное количество шагов по

нам необходим,потому что Метод Рунге-Кутты требует расчетов в точке

.
Из начальных условий известно, что при

,

.
Для

приблизительное значение функций можно найти через разложение в ряд Тейлора:

.
Казалось бы все замечательно, и теперь можно подниматься по сетке вверх, начиная с

считать значения

,

, но метод Рунге-Кутты требует вычисления значений конечных разностей на слое

, где мы еще не знаем значений функций. Получается эдакое зацикливание: чтобы узнать значение функций на шаге

мы должны воспользоваться методом Рунге-Кутты, а для того чтобы найти значение методом Рунге-Кутты, мы должны воспользоваться аппроксимацией через функци, которые еще не найдены.
Может быть у меня ошибка в понимании метода конечных разностей? Или необходимо использовать предварительную аппроксимацию слоя

?