2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 скамья Жуковского
Сообщение19.05.2014, 11:48 


10/02/11
6786
В учебниках физики часто встречается задача в которой человек , стоя неа крутящейся скамье, манипулирует вращающимся велосипедным колесом. Но аккуратной постановки этой задачи и аккуратных формул вроде бы не наблюдается.

Попробуем этот пробел восполнить.

Изображение

Установка состоит из горизонтальной подставки с центром в точке $O$, которая может свободно вращаться (угол $\theta$) вокруг вертикальной оси $OA$. Подставка представляет собой тонкий однородный диск известной массы и радиуса.
На подставке вертикально укреплена невесомая рамка в виде кольца, которая образует единое твердое тело с подставкой.
На диаметре рамки имеется невесомый стержень $BC$ на стержнь насажен диск (клетчатая штриховка). Диск может свободно вращаться вокруг стержня (угол $\gamma$), а стержень может свободно поворачиваться в рамке (угол $\phi$). Диск однородный, с известной геометрией.
Центр диска совпадает с центром рамки и лежит в пересечении прямых $OA$ и $BC$.



Введем две подвижные системы координат $xyz,\quad \xi\eta\zeta$, начало обеих находится в центре диска. Координатные плоскости $yz,\quad \eta\zeta$ все время совпадают с плоскостью кольца. Ось $z$ все время лежит на оси $OA$; ось $\zeta$ -- на оси вращения диска.

$J=diag (A,A,B)$ -- оператор инерции диска в осях $\xi\eta\zeta$; $U$ -- момент инерции подставки относительно оси $OA$.

По теореме сложения угловых скростей, угловая скорость диска равна $$\overline\omega=\dot\theta\overline e_z+\dot\phi\overline e_\xi+\dot\gamma\overline e_\zeta,\quad \overline e_z=\cos\phi\overline e_\zeta-\sin\phi\overline e_\eta.$$
Отсюда, кинетическая энергия системы она же лагранжиан равна $T=L=\frac{1}{2}(J\overline \omega,\overline\omega)+\frac{1}{2}U\dot\theta^2=$
$$=\frac{1}{2}\Big(A\dot\phi^2+A\dot\theta^2\sin^2\phi+B(\dot\theta\cos\phi+\dot\gamma)^2\Big)+\frac{1}{2}U\dot\theta^2$$
Циклические интегралы:
$$p_\theta=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=A\dot\theta\sin^2\phi+B(\dot\theta\cos\phi+\dot\gamma)\cos\phi+U\dot\theta,\quad p_\gamma=\frac{\partial L}{\partial\dot\gamma}=B(\dot\theta\cos\phi+\dot\gamma).$$

Приведенный анализ годится для двух постановок задачи:
1) угол $\phi$ является заданной функцией времени, система неавтономна и имеет две степени свободы
2) угол $\phi$ изменяется свободно, система автономна и имеет три степени свободы.

Случай 2) удобно изучить в терминах приведеного потенциала.

Рассмотрим опстановку 1).
С помощью циклических интегралов находим:
$$\dot\theta=-{\frac {-p_{{\theta}}+\cos \left( \phi \right) p_{{\gamma}}}{A \left( \sin \left( \phi \right)  \right) ^{2}+U\\
\mbox{}}},\quad\dot\gamma={\frac {-B\cos \left( \phi \right) p_{{\theta}}+B \left( \cos \left( \phi \right)  \right) ^{2}p_{{\gamma}}+p_{{\gamma}}A \left( \sin \left( \phi \right)  \right) ^{2}+p_{{\gamma}}U}{ \left( A \left( \sin \left( \phi \right)  \right) ^{2}+U \right)B}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: скамья Жуковского
Сообщение19.05.2014, 17:48 


10/02/11
6786
В случае 2) приведеный потенциал имеет вид
$$V_{p_\theta p_\gamma}(\phi)=\frac{(p_\theta-p_\gamma\cos\phi)^2}{2(U+A\sin^2\phi)}.$$
Заметим, что,
$$V'_{p_\theta p_\gamma}(0)=0,\quad V''_{p_\theta p_\gamma}(0)=-\,{\frac { \left( -p_{{\theta}}+p_{{\gamma}} \right)  \left( p_{{\gamma}}U-Ap_{{\theta}}+Ap_{{\gamma}} \right) }{{U}^{2}}}$$
Таким образом, если $\left( -p_{{\theta}}+p_{{\gamma}} \right)  \left( p_{{\gamma}}U-Ap_{{\theta}}+Ap_{{\gamma}} \right)<0$ то угол $\phi$ колеблется около значения $\phi=0$.
Интересно, что в случае Лагранжа ($U=0$) такое движение возможно только если $p_\theta=p_\gamma$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group