скамья Жуковского

[Oleg Zubelevich]

В учебниках физики часто встречается задача в которой человек , стоя неа крутящейся скамье, манипулирует вращающимся велосипедным колесом. Но аккуратной постановки этой задачи и аккуратных формул вроде бы не наблюдается.

Попробуем этот пробел восполнить.



Установка состоит из горизонтальной подставки с центром в точке $O$, которая может свободно вращаться (угол $\theta$) вокруг вертикальной оси $OA$. Подставка представляет собой тонкий однородный диск известной массы и радиуса.
На подставке вертикально укреплена невесомая рамка в виде кольца, которая образует единое твердое тело с подставкой.
На диаметре рамки имеется невесомый стержень $BC$ на стержнь насажен диск (клетчатая штриховка). Диск может свободно вращаться вокруг стержня (угол $\gamma$), а стержень может свободно поворачиваться в рамке (угол $\phi$). Диск однородный, с известной геометрией.
Центр диска совпадает с центром рамки и лежит в пересечении прямых $OA$ и $BC$.


Введем две подвижные системы координат $xyz,\quad \xi\eta\zeta$, начало обеих находится в центре диска. Координатные плоскости $yz,\quad \eta\zeta$ все время совпадают с плоскостью кольца. Ось $z$ все время лежит на оси $OA$; ось $\zeta$ -- на оси вращения диска.

$J=diag (A,A,B)$ -- оператор инерции диска в осях $\xi\eta\zeta$; $U$ -- момент инерции подставки относительно оси $OA$.

По теореме сложения угловых скростей, угловая скорость диска равна

$$\overline\omega=\dot\theta\overline e_z+\dot\phi\overline e_\xi+\dot\gamma\overline e_\zeta,\quad \overline e_z=\cos\phi\overline e_\zeta-\sin\phi\overline e_\eta.$$

Отсюда, кинетическая энергия системы она же лагранжиан равна $T=L=\frac{1}{2}(J\overline \omega,\overline\omega)+\frac{1}{2}U\dot\theta^2=$

$$=\frac{1}{2}\Big(A\dot\phi^2+A\dot\theta^2\sin^2\phi+B(\dot\theta\cos\phi+\dot\gamma)^2\Big)+\frac{1}{2}U\dot\theta^2$$

Циклические интегралы:

$$p_\theta=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=A\dot\theta\sin^2\phi+B(\dot\theta\cos\phi+\dot\gamma)\cos\phi+U\dot\theta,\quad p_\gamma=\frac{\partial L}{\partial\dot\gamma}=B(\dot\theta\cos\phi+\dot\gamma).$$

Приведенный анализ годится для двух постановок задачи:
1) угол $\phi$ является заданной функцией времени, система неавтономна и имеет две степени свободы
2) угол $\phi$ изменяется свободно, система автономна и имеет три степени свободы.

Случай 2) удобно изучить в терминах приведеного потенциала.

Рассмотрим опстановку 1).
С помощью циклических интегралов находим:

$$\dot\theta=-{\frac {-p_{{\theta}}+\cos \left( \phi \right) p_{{\gamma}}}{A \left( \sin \left( \phi \right) \right) ^{2}+U\\ \mbox{}}},\quad\dot\gamma={\frac {-B\cos \left( \phi \right) p_{{\theta}}+B \left( \cos \left( \phi \right) \right) ^{2}p_{{\gamma}}+p_{{\gamma}}A \left( \sin \left( \phi \right) \right) ^{2}+p_{{\gamma}}U}{ \left( A \left( \sin \left( \phi \right) \right) ^{2}+U \right)B}}$$

[Oleg Zubelevich]

В случае 2) приведеный потенциал имеет вид

$$V_{p_\theta p_\gamma}(\phi)=\frac{(p_\theta-p_\gamma\cos\phi)^2}{2(U+A\sin^2\phi)}.$$

Заметим, что,

$$V'_{p_\theta p_\gamma}(0)=0,\quad V''_{p_\theta p_\gamma}(0)=-\,{\frac { \left( -p_{{\theta}}+p_{{\gamma}} \right) \left( p_{{\gamma}}U-Ap_{{\theta}}+Ap_{{\gamma}} \right) }{{U}^{2}}}$$

Таким образом, если $\left( -p_{{\theta}}+p_{{\gamma}} \right) \left( p_{{\gamma}}U-Ap_{{\theta}}+Ap_{{\gamma}} \right)<0$ то угол $\phi$ колеблется около значения $\phi=0$.
Интересно, что в случае Лагранжа ($U=0$) такое движение возможно только если $p_\theta=p_\gamma$.