2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Выпуклость преобразования
Сообщение12.05.2014, 08:52 
Аватара пользователя
Здравствуйте, уважаемые участники форума. Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей.
Дано, что функция $f: R \rightarrow [0;+\infty]$ - выпуклая вниз. Доказать, что функция: $T_{\lambda}f(x)=\inf(f(y)+\lambda|x-y|,y\in R)$ также выпуклая вниз.

Хочу показать, что $T_{\lambda}f(tx_1+(1-t)x_2)\leqslant tT_{\lambda}f(x_1)+(1-t)T_{\lambda}f(x_2)$ для любых $x_1,x_2 \in R, t \in (0,1)$.

$$T_{\lambda}f(tx_1+(1-t)x_2)=\inf(f(y)+\lambda |tx_1+(1-t)x_2-y|,y \in R)= \inf(f(y)+\lambda |t(x_1-y)+(1-t)(x_2-y)|,y \in R)$$

$\leqslant \inf(f(y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|(x_2-y)|,y \in R)$

И тогда

$$\inf(f(y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|(x_2-y)|,y \in R)=
\inf(f(ty+(1-t)y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|(x_2-y)|,y \in R)$$

и из условия выпуклости функции $f$:


$$\inf(f(ty+(1-t)y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|x_2-y|,y \in R)$$

$$\leqslant \inf(tf(y)+(1-t)f(y)+\lambda |t(x_1-y)|+\lambda(1-t)|x_2-y|,y \in R)$$
$=\inf(t(f(y)+\lambda |x_1-y|)+ (1-t)(f(y)+\lambda|x_2-y|),y \in R)$

Можно ли теперь утвержать, что последний $\inf$ равен сумме $\inf(t(f(y)+\lambda |x_1-y|))$ и $\inf((1-t)(f(y)+\lambda|x_2-y|))$ ? Если нет, тогда как в таком случае рассуждать? Заранее благодарен.

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение12.05.2014, 20:54 
Аватара пользователя
Функция $T_{\lambda}f(x)$ есть инфимальная конволюция двух выпуклых функций, и поэтому сама выпукла. См. Р.Т.Рокафеллар. Выпуклый анализ. Конец первой главы.

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение12.05.2014, 21:31 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #862409 писал(а):
Функция $T_{\lambda}f(x)$ есть инфимальная конволюция двух выпуклых функций, и поэтому сама выпукла. См. Р.Т.Рокафеллар. Выпуклый анализ. Конец первой главы.


Спасибо за ответ. Материал книги как раз разбираю. Но как получить утверджение, не строя теорий инфимальной конволюции выпуклых функций?

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение13.05.2014, 22:38 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #862409 писал(а):
См. Р.Т.Рокафеллар. Выпуклый анализ. Конец первой главы.


В указанной книге доказательство факта про инфимальную конволюцию двух выпуклых функций проводится через ссылку на утверждение, которое по сути эквивалентно данной задачи... Пока не разобрался как это сделать, натолкните на мысль.

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение14.05.2014, 21:51 
Аватара пользователя
MaxWriter в сообщении #862888 писал(а):
Пока не разобрался как это сделать, натолкните на мысль.

Как сделать что? К чему тут относится слово "это"? Извините, я не понимаю, где у Вас трудности. Я не телепат и не преподаватель. Вряд ли я смогу Вам помочь.

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение15.05.2014, 16:41 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #863354 писал(а):
MaxWriter в сообщении #862888 писал(а):
Пока не разобрался как это сделать.

Как сделать что? К чему тут относится слово "это"?

Сделать это - то есть доказать утверждение, что $T_{\lambda} f$ - выпуклая функция. Трудности возникают с тем как доказать, что в последнем равенстве инфимум суммы будет равен сумме инфимумов, ведь в общем случае это не так.

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение15.05.2014, 20:06 
Аватара пользователя
А последнее равенство неверно. Положите $f(y)=0, t=1/2, \lambda = 2, x_1=1, x_2=-1$.

-- Чт май 15, 2014 21:08:16 --

MaxWriter в сообщении #862888 писал(а):
проводится через ссылку на утверждение, которое по сути эквивалентно данной задачи...

Я эту эквивалентность не уловил. Но я особенно в ваши выкладки не вникал.

 
 
 
 Re: Выпуклость преобразования
Сообщение19.05.2014, 13:35 
Аватара пользователя
Появилась другая идея, но не знаю правильно ли.

Корректно ли будет написать, что

$$T_{\lambda}f(tx_1+(1-t)x_2)=\inf(f(y)+\lambda |tx_1+(1-t)x_2-y|,y \in R)= $$

$=\inf(f(ty_1+(1-t)y_2)+\lambda |tx_1+(1-t)x_2-(ty_1+(1-t)y_2)|,y_1,y_2 \in R)$ ?

То есть в последнем равенстве инфимум берется по всем $y_1,y_2 \in R$

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group