Обратимый оператор

[bersarnur]

Докажите, что каждый обратимый оператор в $B(H)$ является линейной комбинацией двух унитарных операторов, где $B(H)$ - алгебра всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве $H.$
Натолкните на мысль, пожалуйста.
Могу ли я использовать полярное разложение оператора?

[mishafromusa]

bersarnur в сообщении #865149 писал(а):

Могу ли я использовать полярное разложение оператора?

Может быть, если Вам удастся доказать, что каждый положительный оператор -- линейная комбинация двух унитарных. Мне лично кажется, что так оно и есть.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #866342 писал(а):

каждый положительный оператор -- линейная комбинация двух унитарных

Здесь был ответ, но я его убрал.

-- Ср, 21 май 2014 22:53:58 --

Кстати говоря, если оператор необратимый, то трёх точно хватит, а про два я не смог с ходу найти.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #866343 писал(а):

Кстати говоря, если оператор необратимый, то трёх точно хватит, а про два я не смог с ходу найти.

Может для необратимого и нужно 3.

[ewert]

g______d в сообщении #866343 писал(а):

Кстати говоря, если оператор необратимый,

А зачем вообще обратимость и даже положительность, если $A=\frac1{2i}(e^{i\arcsin A}-e^{-i\arcsin A})$?

[g______d]

ewert в сообщении #866377 писал(а):

А зачем вообще обратимость и даже положительность

Я плохо выразился. Для самосопряжённого в любом случае достаточно очевидно.

Вопрос про несамосопряжённый и необратимый. Про три очевидно, потому что прибавлением кратного единичного можно сделать обратимым.

[ewert]

g______d в сообщении #866378 писал(а):

Вопрос про несамосопряжённый и необратимый.

А тогда достаточно действительно навесить разложение. Только не полярное, а сингулярное.

[g______d]

ewert в сообщении #866379 писал(а):

Только не полярное, а сингулярное.

В конечномерном пространстве достаточно и полярного, а в бесконечномерном я не понял, поясните?

[patzer2097]

а в конечномерном пространстве вроде в виде линейной комбинации двух унитарных любой оператор не удастся выразить
ведь размерность многообразия ортогональных операторов там $n(n-1)/2$, а всех операторов $n^2$

[ewert]

patzer2097 в сообщении #866425 писал(а):

ведь размерность многообразия ортогональных операторов там $n(n-1)/2$,

Это ортогональных, но речь-то об унитарных, т.е. в комплексном пространстве. Как там насчёт "размерностей"?...

g______d в сообщении #866380 писал(а):

а в бесконечномерном я не понял, поясните?

хм, мне это почему-то казалось очевидным, но вот вдруг обнаружил, что не знаю или не помню, как там насчёт бесконечномерного случая...

[patzer2097]

ewert в сообщении #866430 писал(а):

Это ортогональных, но речь-то об унитарных, т.е. в комплексном пространстве. Как там насчёт "размерностей"?...

да, в комплексном так доказать не получается, так как размерность унитарной группы равна $n^2$. Но в любом случае, даже если нужное представление существует, то трудно поверить, что оно легко строится, как показывает подсчет размерностей

g______d в сообщении #866378 писал(а):

Для самосопряжённого в любом случае достаточно очевидно.

По-моему, не очень очевидно даже для диагонального конечномерного

[mishafromusa]

Ну вот, теперь человеку, задавшему вопрос, будет о чём подумать, в особенности если он хочет решить задачу, не используя спектральной теоремы

[ewert]

mishafromusa в сообщении #866482 писал(а):

в особенности если он хочет решить задачу, не используя спектральной теоремы

а как?... за что-то ведь надо ж зацепиться

[mishafromusa]

g______d знает, но не скажет

[patzer2097]

mishafromusa в сообщении #866757 писал(а):

g______d знает, но не скажет

позволю себе попробовать сказать что-то еще если ограниченный оператор $A$ самосопряжен, то оператор $\|A\|^2-A^2$ самосопряжен и неотрицательно определен. А тогда оператор $B=\left(A+i\sqrt{\|A\|^2-A^2|\right)/\|A\|$ унитарен и $A=\|A\|B+\|A\|B^{-1}$. Поэтому любой ограниченный оператор можно представить в виде комбинации четырех унитарных.

Как g______d раскладывает любой необратимый оператор в комбинацию трех унитарных, остается загадкой