Степени двойки как суммы попарно различных факториалов

[Ktina]

Каждое из чисел

$$2^1=2,\quad 2^3=8,\quad 2^5=32\quad \text{и}\quad 2^7=128$$

представимо в виде суммы попарно различных факториалов натуральных чисел.
Действительно,

$$2^1=2=2!,\quad 2^3=8=3!+2!,\quad 2^5=32=4!+3!+2!\quad \text{и}\quad 2^7=128=5!+3!+2!$$

А существует ли ещё хотя бы одна степень двойки с натуральным показателем, представимая вышеуказанным способом?
Если нет, доказать.
Если да, привести пример.

[maxal]

Других нет. Для доказательства достаточно проверить все степени 2-ки до 255. И далее установить, что сравнение

$$\sum_{i=1}^{255} x_i\cdot i! \equiv 0\pmod{2^{255}}$$

не имеет решений для $x_i\in\{0,1\}$, в которых бы $x_2=1$.
Последнее утверждение устанавливается итеративно, наращивая количество факториалов и степень 2-ки в модуле (при рассмотрении первых $k$ факториалов степень 2-ки в модуле должна делить $(k+1)!$). Например, по модулю $2^{15}$ существует лишь одно решение с $x_2=1$:

$$2! + 3! + 5! + 6! + 7! + 11! + 12! +15! \equiv 0 \pmod{2^{15}}.$$

Таким образом, для $n\geq 255$ в разложении $2^n$ в сумму факториалов мы с необходимостью имеем $x_1=x_2=0$ и поэтому оно должно делиться на 3, противоречие.

[Ktina]

maxal
Спасибо!

[maxal]

Ktina, откуда задача?

[Ktina]

maxal в сообщении #865081 писал(а):

Ktina, откуда задача?

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36f174c6b7
Region 3, Problem 2, но мне она показалась простой, потому и вышел такой экспромт