Единственность продолжения

[Mikhail Sokolov]

Подскажите, пожалуйста, где можно почитать про данное утверждение и близкие к нему?

Пусть $X\subset \mathbb{R}^n$ - компакт. $F:X\to \mathbb{R}$ - некоторая ограниченная монотонная (скажем, возрастающая по каждому из аргументов) функция. И пусть $X'$ - это dense (извините, не знаю, каков русский аналог для данного термина, плотное подмножество?) множества $X$. Причем $x$-ы, на которых достигается минимум и максимум $F$ на $X$, содержатся в $X'$. Известно, что $F\equiv G$ на множестве $X'$, где $G$ - некоторая непрерывная функция, определенная на $X'$.
Тогда $F$ - это единственное непрерывное продолжение $G$ на $X$.

Спасибо.

[Henrylee]

А что именно хочется почитать про это утверждение? То, что непрерывная функция однозначно определяется своими значениями в плотном подмножестве много где используется. Доказать это несложно. Или вопрос состоит в том, где почитать как это используется? А близких утверждений много. Например теорема Колмогорова о согласованных распределениях.

Добавлено спустя 56 минут 28 секунд:

Или я что-то не так понял?

[Mikhail Sokolov]

Хотелось бы просто найти это (или похожее) утверждение с доказательством в какой-нибудь книжке. Или прямо тут его доказать.
Доказательство, если я правильно понимаю, должно состоять из двух этапов. Сначала доказывается, что $F$ непрерывна на $X$ (вроде бы следует из непрерывности $G$, монотонности $F$ и того факта, что в окрестности любой точки $x\in X$ найдутся такие точки $x',x''\in X'$, что $F(x)-e\leqslant G(x')\leqslant F(x)\leqslant G(x'')\leqslant F(x)+e$ для любого $e>0$). А потом используется тот факт, что непрерывная функция однозначно определяется своими значениями в плотном подмножестве.

[Henrylee]

Mikhail Sokolov писал(а):

в окрестности любой точки $x\in X$ найдутся такие точки $x',x''\in X'$, что $F(x)-e\leqslant G(x')\leqslant F(x)\leqslant G(x'')\leqslant F(x)+e$ для любого $e>0$). А потом используется тот факт, что непрерывная функция однозначно определяется своими значениями в плотном подмножестве.

Неравенство не очень ясное, может так (?)

$G(x')=F(x')\le F(x)\le F(x'')=G(x'')$

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

и, по-моему этого достаточно для $F\equiv G$.

[Mikhail Sokolov]

Этим корявым неравенством я хотел сказать, что нам важно, чтобы точки $G(x')$ и $G(x'')$ располагались в $e$-окрестности точки $F(x)$.
А вот этого не понял:

Цитата:

и, по-моему этого достаточно для $F\equiv G$

.
Ведь чтобы получить это неравенство мы задействовали и монотонность, и непрерывность, и плотность $X'$, и тот факт, что $x$-ы, на которых достигается минимум и максимум $F$ на $X$, содержатся в $X'$.

[Henrylee]

Mikhail Sokolov писал(а):

Ведь чтобы получить это неравенство мы задействовали и монотонность, и плотность $X'$, и тот факт, что $x$-ы, на которых достигается минимум и максимум $F$ на $X$, содержатся в $X'$. Не использовалась только непрерывность. Но она нам потребуется далее при доказательстве единственности продолжения.

А вот это уже я не понимаю. Монотонность, плотность - да. достижение минимума и максимума я, например, не использую. А вот непрерывность как раз использую: устремим в неравенстве $x',x''\to x$ (или, что то же самое радиус окрестности точки $x$ к нулю). Получим

$$ G(x)=\lim G(x')\le F(x)\le\lim G(x'')=G(x) $$

[Mikhail Sokolov]

Извините, вы правы. Непрерывность мы тоже используем, иначе нужные нам числа $x'$ и $x''$ могут существовать не для всех $e>0$.

Добавлено спустя 8 минут 56 секунд:

Принадлежность минимума и максимума $X'$ нам нужно.
Контрпример: $X=[0,1]$, $X'=[0,1)$. $G(x)=0$, $x\in X'$. $F(x)=0$, если $x\in X'$, и $F(1)=1$.

[Henrylee]

Секундочку. Непрерывность нам нужна для совершения предельного перехода. А для существования точек $x'$ и $x''$ мы используем монотонность, а также тот факт, что окрестности целиком лежат внутри компакта,т.е. для внутренних точек $x$. И как Вы верно заметили контрпримером, условие на максимум и минимум нам нужно для рассмотрения границ компакта. Вот только тут условие не совсем ясно. Если в условии имеется в виду глобальный макс функции на компакте, то утверждение, по-моему, неверно.

Добавлено спустя 5 минут 40 секунд:

Для построения контрпримера можно перейти в $R^2$ и рассмотреть такой же как Ваш пример для точки границы, являющейся точкой локального, а не глоб. максимума, и чуть-чуть "приподнять" в ней значение функции $F$.

[Mikhail Sokolov]

Честно говоря, я ваш предельный переход не совсем понял. Если $x$ принадлежит множеству $X$ \ $X'$, то что значит, например, равенство $\lim G(x'')=G(x)$? Ведь $G$ может быть разрывна на $X$ \ $X'$ или вообще неопределена.

При доказательстве непрерывности $F$ я исходил просто из определения непрерывности на языке "$e-\sigma$". Из монотонности $F$, непрерывности $G$ и плотности $X'$ следует, что для любого $e>0$ в окрестности точки $x$ можно подобрать такие $x', x''\in X'$, что справедливо неравенство $G(x')\leqslant F(x)\leqslant G(x'')$, где $x'<x$ и $x''>x$ (покомпонентно) и $G(x'')-G(x')<e$. Тогда, в силу монотонного возрастания $F$, в качестве $\sigma$ можно взять минимальное из чисел $x[1]-x'[1],...,x[n]-x'[n],x''[1]-x[1],...,x''[n]-x[n]$ (здесь $x[i]$ - $i$-ая компнента вектора $x$).

Про глобальный максимум - спасибо. Действительно получается, что в такой постановке утверждение неверно. Чтобы все было хорошо, нужно дополнительно требовать, например, чтобы множество $X$ было выпуклым, а функция $F$ - вогнута (выпукла вверх). Тогда не существует локальных максимумов и минимумов (только глобальные).
На самом деле мне все это нужно для частного случае, когда функция $G$ - линейна, множество $X$ - единичный симплекс, а $X'$ - множество рациональных точек в этом симплексе. В этом случае вроде бы утверждение справедливо.

[Henrylee]

Mikhail Sokolov писал(а):

Честно говоря, я ваш предельный переход не совсем понял. Если $x$ принадлежит множеству $X$ \ $X'$, то что значит, например, равенство $\lim G(x'')=G(x)$? Ведь $G$ может быть разрывна на $X$ \ $X'$ или вообще неопределена.

Здесь я изначально предполагал, что $G$ непрерывна и определена на $X$. Так как она продолжается на $X$ по непрерывности однозначно. Тем более, что, как оказалось, Ваша функция линейна.

Добавлено спустя 13 минут 52 секунды:

Кстати говоря, в целях уточнения: в принципе понятно в каком смысле в условии $G$ непрерывна на $X'$. То есть для любой окрестности точки $G(x')$ найдется окрестность $U_{x'}$ (в смысле топологии из $X$) точки $x'$ такая, что $U_{x'}\cap X'$ при отображении $G$ попадает в заданную окрестность точки $G(x')$. То есть непрерывность мы понимаем в смысл топологии $X$, верно? Иначе непонятно, что значит непрерывна на $X'$.

[Mikhail Sokolov]

А, понятно, под $G$ вы подразумевали единственное непрерывное продолжение $G$ на $X$. Теперь я наконец-то понял вашу фразу:

Цитата:

и, по-моему этого достаточно для $F\equiv G$

.

Про непрерывность, да, вы все верно поняли. Ну или по-простому: для всякой последовательности, $x_n\in X'$, сходящейся к $x\in X'$, справедливо: $\lim G(x_n)=G(x)$.

Доказательство непрерывности $F$ в предыдущем моем посте содержит ошибку (если $x$ - граничная точка множества $X$, то не всегда можно подобрать такие $x'$ и $x''$, что имеют место упомянутые там неравенства). В общем для граничных точек утверждение в общем случае неверно (не помогают и предложенные в том посте ухищрения)...

P.S. Спасибо вам за помощь!